Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
перекрытия примесных потенциалов "(г).
В предельном случае рехр (- w (0)) 1 правую часть соот-
ношения (17.6) можно разложить по р, после чего, переходя от суммирования
к интегрированию, для функционала k^(t) получим пуассоновское выражение
(16.1).
Это означает, что в системе, статистические свойства которой описываются
формулой (17.6), при достаточно малых р (т. е. малой плотности)
существует пуассоновская область спектра. Асимптотика плотности состояний
в этой области в конкретных случаях, рассмотренных в § 16, имеет вид,
соответственно, (16.6),
(16.11), (16.14), однако пределы применимости этих результатов теперь
ограничены по ]?| сверху требованием, чтобы логарифмы, входящие в правые
части упомянутых формул, были малы по сравнению с |1п р\. В случае
гладких потенциалов и (г), когда г0 есть характерная ширина потенциала, в
обозначениях § 16 р - 'с/1.
В заключение отметим следующее. Как мы видели в §§ 15, 16, в том случае,
когда Егр = -оо, радиус волновой функции стремится к нулю при Е-> - оо,
т. е. состояния локализованы тем сильнее, чем ближе Е к границе спектра.
Результаты настоящего параграфа (см. также §§7, 20) показывают, что в
случае, когда Егр>-оо (а это, очевидно, наиболее реалистический случай),
ситуация в определенном смысле обратная-размеры области пространства, в
которой сосредоточена волновая функция, неограниченно растут по мере
приближения энергии к границе спектра.
218
§ 18. Макроскопический подход к описанию флуктуационной области спектра
18.1. Вывод основных соотношений. В развитом выше формализме для
вычисления плотности состояний наиболее важным, на наш взгляд, моментом
является переход от формул (14.3),
(14.4) к (14.9). В первых двух Ф(В) выражен через функционал 2 [U],
который полностью описывает статистические свойства системы и содержит
поэтому излишне подробную для вычисления плотности состояний во
флуктуационной области информацию. При переходе к формуле (14.9)
происходит сокращение описания, так как фигурирующая в ней величина Q (я;
[ф]) выражается через функционал 2[?/] с помощью операции min. Более
того, и
это главное, плотность состояний, как было показано выше, определяется
лишь асимптотическим поведением Q ("; [ф]) при я-н!?гр. Именно
возможность связать Ф(?) во флуктуационной области с асимптотикой Q(";
[ф]), соответствующей сокращенному описанию и содержащей лишь необходимую
информацию, и предопределила возможность получения вышеописанных
результатов.
Однако, как мы видели, во всей флуктуационной области, за исключением
участков, где справедливы классические Гауссовская
(15.5) и пуассоновская (16.6) асимптотики, расстояние между примесями на
экстремальной флуктуации существенно меньше характерного радиуса волновой
функции. Это позволяет применить макроскопический подход [138],
основанный на сокращении описания непосредственно в формуле (14.3). Пусть
я(г) = 2Мг-г/)
/
есть точная плотность примесей в некоторой реализации U (г) = = J я (г -
г') я (г') dr' случайного потенциала. Тогда формула (14.3) может быть
записана в виде
р (Е) & Vq1 J @)Uexp(- 2[t/])8 (? - T^0 - $я(г) u$a(r)dr) . (18.1)
Функция "фо(г) = J я (г - г') ф^ (г') dr', введенная в § 15, меняется на
характерном расстоянии, во всяком случае не меньшем, чем радиус г.ф
волновой функции. Если же последний велик по сравнению с расстоянием
между примесями на экстремальной флуктуации, то в формуле (18.1)
автоматически происходит некоторое усреднение. При этом точная плотность
примесей я (г) заменяется на макроскопическую я (г),
n{r')dr\
Дг
получаемую из точной усреднением по некоторому объему Дг, малому по
сравнению с объемом области локализации электрона, но тем не менее
содержащему много примесей.
219
Естественно теперь перейти в континуальном интеграле (18.1) от переменной
U (или, другими словами, от точной плотности Я) к макроскопической
плотности л:
р (?) "Уо1 J @>пех р (- S[n])6 (Б - 7^ - J /г (г) и (г - г')г$(г')х
хЯг dr' ) . (18.2)
Появление при этом нового функционала плотности вероятностей ехр (-5[л]),
зависящего лишь от макроскопической плотности примесей л (г), и отражает
сокращение описания случайного потенциала.
Из формулы (18.2) для плотности состояний получаем
где ?"[?/] - энергия основного состояния уравнения Шредингера с
потенциалом U. Экстремальная плотность примесей л0(г) удовлетворяет, как
следует из (18.3), уравнению
а лагранжев множитель определяется из условия, что Е есть энергия, а ф0
(г)- нормированная волновая функция основного состояния уравнения
Шредингера
Уравнения (18.4) и (18.5) вместе с соотношением (18.3) составляют
основное содержание макроскопического подхода, излагаемого в настоящем
параграфе. Главное преимущество этого подхода состоит в том, что вид
функционала 5 [л], описывающего теперь статистические свойства системы,
может быть установлен из простых термодинамических соображений. В самом
деле, согласно [84], имеем
где ^Vo[n] есть энтропия заключенной в объеме V0 подсистемы, отвечающая
