Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
макроскопической плотности л (г).
Макроскопический характер рассматриваемых в этом параграфе флуктуаций
приводит к еще одному важному обстоятельству. Весь объем V0, приходящийся
на одну флуктуацию, можно разбить на объемы AV, малые по сравнению с
объемом флуктуации ДУ0 (и тем более по сравнению с У0), но содержащие тем
не менее большое число примесей. В каждом из таких объемов
макроскопическая плотность я практически не меняется; поэтому энтропия,
220
{ S [я.] - Р (е - Е, [$ U (г - г') п, (г') dr'] ) ) = 0,
или
(18.4)
Л-фо + Ifo S И (г - г') "о (г') = Etyr (18-5)
S["c] = -A<y'1/o=-^l,o["0( r)]+<yV>], (18.6)
связанная с таким объемом, может быть записана в виде = r^d AV а (п), где
а (/г) есть плотность энтропии, a г0 -радиус действия потенциала одной
примеси. Для энтропии, связанной со всем объемом V0, в силу ее
аддитивности имеем
г№у0Ы=> S о(n0(г))dr = ( J + J \<j (n0(r))dr. (18.7;
Vt \Г"-ДГ0 AVj
Далее, так как в объеме Vn - ЛК0 плотность л0(г) мало отличается от
средней, подынтегральную функцию в интеграле по этому объему можно
разложить с точностью до первого порядка по малому отклонению я0(г) - п:
о (л0 (г)) = о (п) + (я0 (г) - п) а' (л).
Подставляя получающееся теперь из (18.7) выражение для <^Vo[/i0] в (18.6)
и учитывая условие сохранения полного числа примесей в объеме V0
$ (n0(r) - n)dr+ J ("о (г) - n)dr = 0,
AV0 Г0-ДГ0
получаем окончательно:
= - \[[o(nb)~G(n) - {n0{r) - n)a'(n)]dr. (18.8)
ДГ"
Поскольку на границе объема AV0 плотность я0(г) почти совпадает со
средней п, интегрирование в этой формуле можно распространить на все
пространство. Таким образом, в частном случае невзаимодействующих
примесей для построения функционала 5 [л], согласно (18.8), достаточно,
руководствуясь комбинаторными соображениями, вычислить плотность
энтропии.
18.2. Решеточный газ. В дальнейшем мы ограничимся случаем, когда примеси
образуют решеточный газ с параметром перекрытия I - {rJa)d {а~постоянная
решетки). В этом случае плотность энтропии а (с) равна
а (с) - I \п I~с\пс - (1 -с) In (/ -с),
откуда получаем S[c]
с In - + (/ - с) In
1 -с
I - с
dr
(18.9)
(с (г) = г*п (г)). Основные уравнения задачи (18.4)- (18.5) и соотношение
(18.3) приобретают теперь вид
Ф
/-С|)
(/ -с0)1пу^
dr.
(Е) = /V* f
= _р Г и (г-r')^o(r')dr', с (7-с0 (г)) J
- Лфо + гГЧо J и (г - г7) С0 (г') dr' = ?4|v
(18.10)
(18.11)
(18.12)
221
Рассмотрим теперь отдельно каждую из характерных областей спектра.
а) Гауссовская область спектра на этом языке описывается сравнительно
мелкими флуктуациями, для которых с0(г)-с<^,с. Найденное с помощью этого
неравенства приближенное решение уравнения (18.11) для с0(г) при
подстановке в уравнение (18.12) приводит его, с точностью до обозначений
и сдвига начала отсчета энергии на величину среднего потенциала, к виду
(15.2). Наконец, для плотности состояний из (18.10) в соответствующих
областях энергии снова получаем выражения (15.5) и (15.9). В рамках
макроскопического подхода, в отличие от метода §§14 - 17, существует
дополнительное условие макроскопизации r^fr0^>Co1Jd, требующее, чтобы
среднее расстояние между примесями на флуктуации было малым по сравнению
с радиусом волновой функции. Любопытно отметить, что это условие при
достаточно большом значении параметра перекрытия I выполняется не только
в области, где потенциал можно эффективно заменить на белый шум, но и в
классической гауссовской области, для которой применимость
макроскопического описания совсем не очевидна.
б) Пуассоновская область спектра существует лишь при достаточно сильном
перекрытии (или малой концентрации) /^>с и соответствует таким
флуктуациям, для которых с<^с0(г)<^/. В этом случае для экстремальной
волновой функции ф0(г) из
(18.11), (18.12) следует уравнение
- Аф0 +J ехр { - р J и (г' -г") (г") dr"} и (г- г') dr'=Ety0r
(18.13)
эквивалентное уравнению (16.5) лишь после замены экспоненты под
интегралом на б-функцию с амплитудой
= J ехр J-(5 J и (г - r')^(r')dr' J dr.
Для гладких потенциалов и (г) применимость уравнения (16.5) в
пуассоновской области спектра была обоснована в § 16. Поэтому здесь мы
ограничимся рассмотрением лишь сингулярных потенциалов.
Рассмотрим сначала одномерную задачу с потенциалом и(х)= = -&0б(х). В
этом случае уравнение (18.13) принимает вид
-ФИ-Ф<Э! ехр (Р&0фо (*)) = ?фо-
Заменим в этом уравнении выражение - ckl ехр (р&0Фо(*))> играющее рель
потенциала, на - uxk0 б (х). Тогда энергию и волновую функцию основного
состояния можно представить в форме
\E\-1Uu\kl, фо(х) = (1/г"А)1/гехр(-VaMol^D- (18.14)
Уравнение для определения их
их = ckо J ехр (Р?0фЦ (х)) dxy
222
после подстановки ф0(л:) из (18.14), приобретает вид
tii =а 2ck0 J ex~xlR dx, R - ("iT^0)_1,
(18.15)
где r=1/$ulk0. Указанная выше замена эффективного потенциала б-
функционным возможна лишь тогда, когда его характерная ширина R = (u1
т&о)-1 мала по сравнению с радиусом Гф -(и1?0)"'1 волновой функции, т. е.
при т^>1. Однако, как видно из (18.14),
