Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
минимальное "собственное значение" е0 и соответствующую ему положительную
"собственную функцию" Т,, (х) [120]:
Ф(?) = ^1(|г)!~''/\ ?, = (15.9)
Это точное выражение для первого члена асимптотики Ф(?) при Е -"- - оо
согласуется с оценкой по порядку величины (15.7), полученной выше.
Поскольку теперь ~ | Е |~1/г, формула (15.9) применима в области
Дельта-функционный характер корреляционной функции В^г) = В06(г)
означает, что в области г^^>гЕ случайный потенциал ведет себя как белый
шум-6-коррелированный гауссовский процесс, рассматривавшийся выше для
одномерного случая. Но при d- 1 уравнение (15.8) легко решается, причем
оказывается, что e0=f-1, Yo (х) - ch"1.*, -4/3. и поэтому, в полном
соот-
ветствии с (6.19), где 2D -В0, находим, что
В работе [135] в результате модификации метода вычислений, используемого
в [120], в одномерном случае получено выражение для р (Е) (а не Ф (?)), в
котором предэкспоненциальный множитель отличается от фигурирующего в
точной формуле (6.19) лишь на 8%. В работе [136] показано, что
вариационный метод вычисления плотности состояний, предложенный в [120],
может быть сформулирован как метод перевала при вычислении функции Грина,
записанной в виде континуального интеграла. Авторы разработали
нетривиальный метод вычисления вклада окрестности точки перевала.
Полученное ими выражение для р{?) в одномерном случае полностью совпадает
с точной асимптотикой (6.19).
При d>l решение уравнения (15.8) в замкнутом виде получить не удается
даже в предположении сферической симметрии. Однако необходимые нам
минимальное "собственное значение" е0
и отвечающий ему функционал Т4 = J (х) dx могут быть найдены численно *)
и оказываются равными
s0 - -0,410, ^ - 2,419 (d -2),
е0- -0,107, ?4^6,182 (d = 3).
В соответствии с этим
( 11,801 ? | Во1, d=* 2,
( ) \ 37,79 |?|V.B0-\ d=3.
*) Пользуемся случаем поблагодарить К. В. Маслова и А. А. Моторную,
проделавших эти расчеты на ЭВМ М220.
204
Можно показать [137], что в отличие от одномерного случая, где существуют
только одно е0 < 0 и положительная (я), удовлетворяющие (15.8), при d -
2, 3 имеется бесконечная последовательность е0, 8i, ... отрицательных и
сгущающихся к нулю чисел и экспоненциально убывающих функций ^"(л:), я =
0, 1, являющихся решением уравнения (15.8), причем п-я функция уИп (.х)
имеет ровно п нулей при х > 0. Мы, однако, в соответствии с описанной
процедурой отыскания асимптотики Ф(?) интересуемся лишь е0 и ?0(х).
Может возникнуть впечатление, что подобно тому, как это было в одномерном
случае, в случае трех измерений также существует двусторонняя окрестность
среднего потенциала | Е - U | <^г"2, в которой произвольный потенциал
может быть заменен б-коррелированной случайной функцией. Нетрудно
убедиться, однако, что в трех измерениях такая замена невозможна.
Действительно, будем вычислять плотность состояний
находя Imf<G(0, 0; Е-/0)> с помощью теории возмущений по потенциалу, т.
е. для больших энергий в рассматриваемой области (явные ограничения будут
указаны ниже). С точностью до членов второго порядка по U, считая, что V
= 0, Е - А8 > 0, будем иметь *)
Так как krc<^ 1, то функция Ду(г) является довольно "острой". Однако ее
нельзя в этом пределе заменить б-функцией из-за стоящей в знаменателе
величины li*-г2|. Значит, в рассматриваемой области необходимо считать,
что Ви (г), будучи сосредоточенной в начале координат, такова, что
конечной величиной является не Г Ви (г) dr, a С dr, и поэтому В (г) будет
сингуляр-
ной функцией типа трехмерного точечного потенциала [36], а не типа 8-
функции**). Обозначая
*) Аналогичные вычисления в одномерном случае проделаны в § 7 (см.
формулу (7.24)).
**) Причина того, что В (г) является менее сингулярной функцией, чем б
(г), та же, по которой трехмерный точечный потенциал в квантовой механике
менее сингулярен, чем б (г), а именно наличие множителя г-1 перед
экспонентой в функции Грина свободного уравнения Шредингера.
р (?) - я;"1 Im <(? (0, 0; Е-Ю)>,
Р(Е) = 4?+ о 1Ви(Г1 -г,)
sin [k (гг4-г2 + | ri-г2 |)] гггг I ri-1*21
хе~ъ <rt+r*+\ ri-r* I) dTi dr2.
получим после несложных вычислений
205
Эта формула применима в области энергий w Е г?2 и показывает, что
существует интервал положительных энергий, в котором замена произвольного
потенциала 6-коррелированным незаконна.
Заметим еще, что, проводя подобные рассуждения в одномерном случае, мы
найдем на основании формулы (7.24), что при
?>*/• Е гё2у 2 D-§BV (х) dx,
р(?)=^Ы1+о(^))
в полном соответствии с вытекающей из точного решения формулой (6.20).
Результаты, пп. 15.1, 15.2 приводят к следующей картине спектра для
случайного гауссовского потенциала. Введем характерный масштаб kc
корреляционной функции Bv(г), такой, что Вц(0) - Тогда для потенциалов с
малым радиусом корреляции
8
kcrc<^ 1 в ближней области энергий {ксгс)*~й <^| Е\ 1 реализуется
асимптотика (15.9), соответствующая длинноволновым флуктуациям. С
увеличением |?|, в области l^(?jr(r) получаем формулу (15.5). Такая
