Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
потенциала, который согласно (2.6) полностью задается своим средним
значением U - 0 (это означает, что энергия отсчитывается от среднего
потенциала) и корреляционной функцией Ви(г) = <.и (v)U (0)>. Будем
предполагать, что В и {г) непрерывна в нуле и меняется на характерном
расстоянии гс (радиус корреляции). Величина и- U$, будучи линейной
комбинацией гауссовских случайных величин V (г), также распределена по
Гауссу со средним значением <и> = 0 и дисперсией
J В и {г-г') ф2 (г) фа (г7) dr dr', (15.1)
и поэтому
Р* (и) - (2лст^)-1/* ехр (-"а/2оф).
Это равенство вместе с соотношением (14.8) позволяет сразу получить
функционал Q (и\ [ф]) при достаточно больших по модулю отрицательных
значениях и:
Щц; [ф])"иа/2аф.
Уравнение (14.15) для экстремальной волновой функции ф0(г) в этом случае
приобретает вид [120]
-Дф0 - рф0 ГВ[/(г - г') фЦ (г') <*г' =?ф0, р = - (15.2)
201
Умножая это уравнение на ф0(г) и интегрируя, получаем
v§? Ту о = р-Сфо"
что вместе с (14.14) и (15.1) приводит к такому выражению для плотности
состояний:
Для очень глубоких уровней, Е- оо, естественно ожидать, что самым малым
параметром задачи размерности длины будет характерный радиус волновой
функции.
Основываясь на этом обстоятельстве, можно заменить (15.2) уравнением
при выводе которого предполагалось, что В и (г) и *ф0 (г) являются
сферически-симметричными функциями *). Это уравнение имеет вид уравнения
Шредингера для d-мерного сферически-сим-метричного осциллятора. Используя
связь между энергией основного состояния, частотой и радиусом основного
состояния получаем
Так как г^,<^г<. = (-2В/Б8)У", то из (15.4) следует, что при Е->-оо
Пределы применимости этой формулы, которую естественно назвать
классической, определяются неравенствами IЕI (Ви (О))1/* и rty<^rci или
|?|>г-а.
Можно дать и уточнение формулы (15.5), т. е. квантовые поправки к ней.
Для этого необходимо найти следующие члены асимптотики р(?) и а^.
Соответствующие выражения таковы:
*) Естественно ожидать, что решение, отвечающее минимальному
"собственному значению", сферически-симметрично. Однако отсутствие такой
"ломки симметрии" в настоящее время в общем случае не доказано.
Ф(?) = 7,(ЛЧ...
(15.3)
+ + f г*)]*.,
Вп=&д'{0), 4 = $г>1Й(г)*, В = В[/(0),
? + ц(В + */,Ваф = (га/24, ц(Ва+7гВ.4) = -<1а/24.
(15.4)
р =* - Е/В, fty v*, rE =* (- E)~ 4*.
Отсюда и из (15.1) и (15.3) находим, что
Ф(?Н?2/2Б"(0).
(15.5)
Отсюда и из (15.3) найдем, что
Ф (Е)
(15.6)
202
Формула (15.5) (см. также формулу (15.15) ниже) в рамках
квазиклассического приближения, пределы применимости которого существенно
уже, получалась многими авторами [121-124]. С помощью метода оптимальной
флуктуации впервые она получена в [125, 126] для случая заряженных
экранированных примесей (см. также книгу [1], где, в частности, подробно
обсуждаются пределы применимости формулы (15.5) при получении ее обоими
методами, и [127, 128]). Результат (15.6) получен в [129] в рамках
формализма фейнмановского интеграла. Вычисление такого интеграла для
гауссовского случайного потенциала с коррелятором Ви (г) = В + х!гВггг
осуществлено* в [130-132]. В [133, 134] этот подход применен для
нахождения плотности состояний электрона в сильном магнитном поле, когда
Ви( 0)
ВЬ( 0)
15.2. Предельно квантовый случайГ. Для менее глубоких уровней | Е j ^ гёг
плотность состояний уже не описывается формулой
(15.5). Однако эта формула позволяет обнаружить тенденцию к смене
асимптотики Ф(?). В самом деле, меньшим значениям \Е\ соответствуют все
более плавные по сравнению с Ви(г) волновые функции. Поэтому, вместо того
чтобы следить за плотностью состояний при уменьшении j В1 и фиксированной
корреляционной функции Ву (г), можно, напротив, зафиксировать энергию, а
радиус
корреляции устремить к нулю. При этом величина В0~ J Bv(г) dr~
-Ви{ 0)г* остается конечной, так что формулу (15.5), справедливую при
|?|г?^>1, удобно записать в виде
I р i2-d/2
Ф(?)"1?Г (\E\riyi\
Do
откуда для плотности состояний в промежуточной области (Е | г* ~ 1 сразу
следует, что
Ф {Щ~\Е\'-*1*В;\ (15.7)
Этот результат впервые получен в [4] для трехмерной системы с истинной
границей на конечном расстоянии с помощью прямого вариационного метода,
излагаемого ниже (см. (18.24)). Более последовательно формулу (15.7)
можно получить следующим образом. Воспользуемся тем, что при гс можно
считать, что Вц (г) = = В06(г), и сделаем в уравнении (15.2), принявшем
теперь вид -Дф0-рВ0г$ =* ?ф0, замену г = ах, ф0 (г) - р?0 (х). Требуя,
чтобы функция 4*0 (х) удовлетворяла не содержащему параметров уравнению
*)
- А% (х)-2^0 (х) - е До (х), ?0 (0) - 1, (15.8)
*) В силу трансляционной инвариантности уравнения (15.8) для однозначной
определенности его решения необходимо наложить еще одно условие. В
качестве такового можно взять, например, условие, требующее, чтобы макси-
мум^функции Tq(x) находился в нуле.
203
найдем, что искомая величина Ф(?) следующим образом выражается через
