Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
характерный объем флуктуации Р0 во всех случаях, как будет видно ниже,
степенным образом зависит от энергии.
198
где 7\|)= J (Уф)2 dr, f/ф- J Utyzdr, а функции ф предполагаются
нормированными на единицу: <ф|ф>-1.
Поэтому
Ф (Е) - min (2 [?/] +р min (7\" -f t/*)) =
=* ram min (2 [?/]~-р?+р7\"+р?/ф) =
=minmin(2[f/l-p5+pr,t + p^)-minn(?-ri|,; [ф]), (14.5)
¦Ф с/ ф
где
[Ф]) - min (2[t/]+p^)-ры, (14.6)
а лагранжев множитель р находится теперь из условия u=Uxj>.
Величина й (и; [ф]) является функцией от и и функционалом от ф, а ее
зависимость от своих аргументов полностью определяется заданием
случайного потенциала. В общем случае связь между Й и U может быть весьма
сложной. Однако из (14.5) вытекает, что для вычисления асимптотики Ф (Е)
достаточно знать Й (и; [ф]) лишь при u-h - с", и можно надеяться, что
в этой области и
связь между Й и U окажется более наглядной.
При таких и с принятой нами точностью соотношение (14.6), определяющее Й,
можно записать в виде
ехр{-Й("; [ф])}= J ^)?/ехр(- 2[t/]) 6 (и- J ?/ф2?Й*). (14.7)
Действительно, так как ^ф2^г=1, т. е. ф(г) в основном сосредоточена в
конечной части пространства, то ^ U^dr может принимать большие по модулю
отрицательные значения лишь в том случае, когда U (г) в этой части имеет
вид глубокой потенциальной ямы. Поэтому эквивалентность выражений (14.6)
и (14.7) имеет место в силу тех же соображений, которые приводят к
эквивалентности (14.3) и (14.4).
Правая часть формулы (14.7) может быть переписана в виде
(б [и- J t/ф2 dr)), откуда видно, что она равна плотности вероятностей
Р^{и) случайной величины U$:
exp{-Й(и; [ф]Н = <6 (u-Uq)>=P^(u). (14.8)
Из этой формулы следует, что Й(м; [ф]) удовлетворяет соотношению й(<х2и\
[аф]) = Й(и; [ф]) - In а2. Однако слагаемое -In а2 при и -> - оо
несущественно. В самом деле, Й (и; [ф]) при и -> - оо растет быстрее
любой степени In и (только в этом случае введение Й (и; [ф]) имеет
смысл). Для таких функций главные члены
и
асимптотик Й (и; [ф]) и йх (гг; [ф]) = -In $ ехр{- Й(ц'; [ф])}г/а\ как
- OQ
199
нетрудно убедиться, совпадают. С другой стороны, Qt(u\ [ф]) = = - 1п<0(и-
так что функция [ф]) удовлетворяет
соотношению
(и; И) = &1 (a2w; [аф]),
уже не содержащему In а2. Поэтому, полагая здесь <x=v = <ф | ф>1/*, для
асимптотики Ф(Е) при Е -> - оо вместо (14.5) получаем
Ф(?)=-.ттй^?-^; [ф]), (14.9)
¦ф
где минимум берется теперь по функциям ф с произвольной нормировкой.
Соотношение (14.8) не только упрощает связь между Q(m; [ф]) при и -"- оо
и потенциалом, но и приводит к конструктивному во многих интересных
случаях способу получения явного выражения для Q в этой области его
аргументов. Для того чтобы убедиться в этом, введем преобразование
Лапласа k^(t) функции e~Q:
оо
S ехр{-ut-Q(m; [ф])}^. (14.10)
00
С одной стороны, отсюда видно, что при больших положительных t основной
вклад в интеграл дает область больших по модулю отрицательных значений и.
Поэтому асимптотика Q (и\ [ф]) при и ->- - оо определяется асимптотикой
k^(t) при t-^4-0°. Поскольку к тому же в указанной области и величина й
(и; [ф]) велика, то согласно (14.10) эти асимптотики с логарифмической
точностью связаны соотношением
-\nk^ (i) - mm{ut + Q{u\ [Ф])}- (14.11)
и
Правая часть последней формулы есть хорошо известное в классической
механике и термодинамике [117, 118] преобразование Лежандра функции Q(u;
[ф]) по аргументу и. Это преобразование взаимно, так что соотношение
(14.11) может быть обращено:
-Q("; [ф])^пип(?и + 1п&ф(0)* (14.12)
С другой стороны, из (14.10) и (14.8) следует, что
М<Н<ехр (-"/*)>, (14.13)
причем среднее в правой части этого равенства для многих важных случаев
может быть непосредственно вычислено. Поэтому формулы (14.12) и
(14.13) дают решение задачи о вычислении
Q("; [ф]) при и~> - оо, после чего, воспользовавшись (14.9),
можно получить явное выражение для плотности состояний:
Ф(?) = 0МЕ-Г*; [ф0]). (14.14)
200
Волновая функция ф0(г) (v^- <ф0|ф0>)> минимизирующая функционал Q (v2?' -
7"-^; |ф]), удовлетворяет вытекающему из (14.9) уравнению
-ДгМг)-?^ = &Мг), (14.15)
где
(2Й-1 -дй(ы; [1ф]) W |"=V - 7-ф.
Решение этого уравнения должно удовлетворять дополнительному условию
ф0(г)^0. Последнее требование есть сформулированное в терминах ф0 условие
того, что Е-энергия основного состояния в потенциале U0, обеспечивающем
минимум функционала 2[?/] из (14.4). Именно это условие и используется,
как правило, для нахождения параметра р.
Таким образом, мы пришли к следующей схеме вычисления Ф(?) [119] при
достаточно больших по модулю отрицательных значениях Е. Сначала вычисляем
с помощью (14.13) k^(t), а затем, применяя преобразование Лежандра
(14.12), -Q(w; [ф]). Наконец, решая уравнение (14.15) и подставляя его
решение в
(14.14), получаем явное выражение для Ф(Е).
§ 15. Гауссовский участок спектра
15.1. Классический случай. В качестве первого применения полученных выше
формул найдем асимптотику плотности состояний для гауссовского случайного
