Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
учитывать возможность двукратного вырождения спектра, имеющего место в
задаче на всей оси.
159
Ясно поэтому, что те значения Е, для которых v(E) отлично от нуля, и
составляют спектр уравнения Шредингера на полуоси.
Заметим теперь, что функция vL (Е) связана с плотностью состояний р? (Е)
следующим соотношением:
Согласно доказанной в гл. I самоусредняемости плотности состояний, левая
часть (12.3) при L ->¦ с" стремится к конечной величине- предельному
числу состояний в интервале (Еи Е2). С другой стороны, из свойства
экспоненциального роста вытекает, что выражение в фигурных скобках в
(12.3) с вероятностью единица и для почти всех энергий Е стремится к
бесконечности. Но тогда, с той же вероятностью, для почти всех энергий
предельная функция v(?) равна нулю. Вспоминая определение понятия "почти
все энергии" (см, п. 9.3), видим, что доказанный факт как раз и означает,
что спектр уравнения Шредингера со случайным потенциалом рассматриваемого
вида с вероятностью единица сосредоточен на множестве, которое не может
занимать целиком никакой отрезок оси энергий.
Этот факт можно сформулировать и иначе, а именно, что предельная весовая
функция v (Е), являющаяся случайной, не может с ненулевой вероятностью
совпадать с неслучайной весовой функцией, равной константе. Используя
несколько видоизмененный вариант доказательства, можно показать [95], что
вероятность того, что v (Е) совпадает с любым фиксированным неслучайным
весом на оси энергий, равна нулю. Это обстоятельство свидетельствует о
том, что случайный спектральный вес бесконечной неупорядоченной системы в
некотором смысле распределен непрерывно и вследствие этого множество
принимаемых им значений достаточно богато.
Отметим в заключение, что доказанные в этом пункте утверждения
представляют собой максимальную информацию о спектре, которую, без каких-
либо дополнительных предположений, можно извлечь из факта
экспоненциального роста. Об этом свидетельствует существование примеров
случайных потенциалов, для которых у (Е) > 0 при всех Е и в то же время в
спектре нет ни одного дискретного уровня; спектр такого типа в
спектральной теории операторов [96] называется сингулярно непрерывным.
12.2. Спектр бесконечной одномерной неупорядоченной системы является
чисто дискретным. Ясно, прежде всего, что это утверждение является
гораздо более сильным, чем то, которое было доказано в предыдущем пункте.
Оно означает, что совокупность собственных функций нашей системы,
образующая полную систему в пространстве состояний, состоит только из
связанных состоя-
$р?(?)d?=S \L-'\t(x,E)dx\vL(E)dE. (12.3)
160
ний*)[97]. Этот факт является еще одним проявлением свойства локализации
состояний одномерных (теперь уже, в отличие от § 9, бесконечных)
неупорядоченных систем, о котором мы уже не раз упоминали выше.
Однако прежде чем излагать доказательство, мы обсудим то свойство
случайного потенциала, на котором оно основано. Таким свойством является
марковость U (х), т. е. весьма слабая статистическая корреляция его
значений в различных точках. Это или некоторое другое подобное ему
предположение о слабости корреляций, или, иными словами, о достаточно
богатом запасе возможных реализаций случайного потенциала, является, по-
видимому, основным условием существования локализации. То, что она
возможна лишь в достаточно разупорядоченных системах, подтверждают, в
частности, результаты работ [98, 99], согласно которым для случайного
потенциала, являющегося суммой (вообще говоря, бесконечной) гармоник, все
частоты которых есть линейные комбинации с целыми коэффициентами взаимно
несоизмеримых частот из фиксированного конечного набора, а начальные фазы
распределены равномерно и независимо, спектр соответствующего уравнения
Шредингера в каждой реализации имеет довольно "массивную" непрерывную
компоненту. Подобные функции, которые принято называть условно-
периодическими, дают пример случайного процесса с весьма сильными
корреляциями, поскольку они характеризуются лишь самой слабой формой
условия исчезновения корреляций - эргодичностью и не обладают никакими
свойствами перемешивания и т. п. (определение этих понятий см., например,
в [14, 197]). Поскольку рассматриваемые нами марковские случайные функции
удовлетворяют любым условиям подобного рода, то условно-периодический
потенциал следует считать в этом смысле противоположным крайним случаем,
отвечающим весьма слабо неупорядоченной системе. В связи с этим возникает
интересный вопрос о тех "минимальных" корреляционных свойствах, которые
обеспечивают появление локализации.
Таким образом, все состояния одномерных и в достаточной степени
разупорядоченных систем оказываются связанными, а потому и
локализованными, несмотря на то, что U (х) не имеет вида потенциальной
ямы, а в силу свойства пространственной однородности принимает значения
одного и того же порядка во всех точках. Это последнее обстоятельство,
однако, обусловливает весьма специфическую структуру возникающего здесь
