Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
на которых существенно изменяется корреляционная функция. Если это
условие не выполнено, то гладкостью потенциала пренебрегать уже нельзя,
что приводит к изменению характера зависимости декремента затухания от
энергии, которая может стать даже экспоненциальной в тех случаях, -когда
применимо квазиклассическое приближение. Это вторая область энергии.
Здесь мы сталкиваемся с ситуацией, характерной для многих задач теории
неупорядоченных систем. Именно, оказывается, что при вычислении различных
величин (плотности состояний, декремента затухания) возникает ряд
областей энергий, каждую из которых можно выделить, рассматривая те или
иные потенциалы. Иными словами, вместо того чтобы менять энергию, можно
менять вид потенциала, и в зависимости от этого будут получаться
выражения, применимые в различных областях энергий. Простой, но типичный
пример дает потенциал типа белого шума. Мы уже видели, что в одномерном
случае им можно заменить практически любой потенциал, но при энергиях,
достаточно близких к ?/, где волновые функции изменяются весьма плавно и
потому детальная структура U (х) несущественна.
В заключение заметим, что область больших энергий для уравнения
Шредингера является в терминах классификации § 4 устойчивой истинной
границей спектра, т. е. границей, в окрестности которой присутствует
спектр каждой реализации случайного оператора. Поэтому, комбинируя
соображения, использованные выше при вычислении асимптотики у(?), и
аргументы, аналогичные тем, с помощью которых в § 7 была найдена
асимптотика сЛГ (Е) в окрестности устойчивой истинной границы, можно
показать, что для всех перечисленных там устойчивых границ
соответствующий декремент затухания на них обращается в нуль. Так для
одномерной изотопической цепочки со случайными массами, корреляции между
которыми убывают достаточно быстро, инкре мент у (со), определяемый как
lim (2л)_1<1п("(r)-)-"^+1)>, где ип-
смещение п-го атома, имеет такую асимптотику на краю акустической зоны
[34, 67] (это есть устойчивая истинная граница для
нению
должны в то же время быть такими, чтобы
144
цепочки);
(10.39)
Подобно тому как (10.14) является аналогом (7.24), последняя формула
аналогична (7.18) и получается сходным путем. Из нее видно, что, в
отличие от непрерывного случая, здесь первый член асимптотики у (со) при
со -0 всегда одинаков, в полном соответствии с тем, что вопрос о
гладкости в дискретном случае отсутствует.
Аналогичная ситуация, т. е. обращение в нуль показателя экспоненциального
роста и сопровождающее его, как правило, появление сингулярности в
плотности состояний, возникает и в некоторых других спектральных точках,
не являющихся границами спектра. Так, согласно (5.30) в модели сильной
связи с чисто недиагональной неупорядоченностью плотность состояний в
центре зоны (Е = 0) имеет особенность вида [ | Е | In31Е11-1, и ниже
показано, что в этой точке у (Е) равно нулю.
Подобным же образом, в случае модели флуктуирующей щели из п. 8.2
плотность состояний при Е~ 0 имеет аналогичную особенность (см. формулу
(8.25) и ниже), а показатель роста при Е 0 обращается в нуль по закону
(10.44).
Поскольку обращение показателя у{Е) в нуль в некоторой точке Е0
свидетельствует о весьма слабой локализации волновых функций в ее
окрестности, то можно ожидать, что и кинетические характеристики системы
будут в этой окрестности вести себя нетривиальным образом. Подробнее по
этому поводу см. § 13 и [77].
С несколько иной точки зрения, основным моментом которой является
доказанная в [78] эргодическая теорема для произведения растущего числа
случайных независимых матриц, вопрос об экспоненциальном росте
рассматривался в обзорах [34, 66], где указаны несколько другие, чем
здесь, приложения этого факта.
Показатель экспоненциального роста может быть, по крайней мере в
принципе, найден при всех значениях энергии и в двухзонной модели,
рассмотренной в § 8. В этой модели у (Е) определяется следующим образом:
В результате элементарных преобразований (ср. с (10.16)) выражение для у
(Е), например в случае модели флуктуирующей щели, может быть записано в
виде
и так как плотность вероятностей фазы ф была найдена в § 8 в виде
интегралов от элементарных функций, то и у (Е) может быть представлено в
таком же виде. Не анализируя сколько-нибудь подробно соответствующее
выражение, укажем только
у{Е)== lim +
X -* ± ОО * I х I
(10.40)
у (Е) =* - <Д cos 2ф>,
(10.41)
145
форму у{Е) вблизи центра зоны Е=± 0. Именно, как пoкaзывaюf
простые, но несколько громоздкие выкладки, при Е -*¦ 0
y(E) = DEp(E)/W (Е), (10.42)
где
D = ?o..(Al/+.lA-dLg.0 (10.43)
Д1(а0 + Й1)
оЛГ(?)-число состояний из (8.24), р (?) -плотность состояний, т. е. off'
(Е). Из (10.42) и (8.24) вытекает, что при v -0 инкремент у(Е) в точке
?=;0 обращается в нуль:
Е
у (?) " 2D
1П'2?0
(10.44)
в отличие от случая v=^0, когда
у (0) - 2Dv.
Отметим также, что после предельного перехода Дг -*¦ оо, Д0->-- оо, аг -
