Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
П
С помощью этой формулы, а также (11.5) и (11.8) можем преобразовать
выражение (11.2) для а (к, Е) к виду
а {к, ?) - <6 (z+ (Z,, ?) + *-№. Е)) (U+ (L) + U_ (L))>, (11.10)
где
(x-L) ?
У± (ж) = j <*'-" (ж') dx'. (И .11)
о
Формула (11.10) для а (/с, ?) является точной и позволяет, по крайней
мере в принципе, находить эту величину для любых случайных потенциалов и
любых значений энергии. Для этого необходимо, используя динамическое
уравнение (11.7) для z(x% Е) и уравнение
- - 2±?/± ± inU ± + 1, (11.12)
151
вытекающее из определения (11.11) 0±{х), составить с учетом
статистических свойств случайного потенциала соответствующие уравнения
для плотности вероятностей. Последнее оказывается возможным сделать для
весьма разнообразных потенциалов. Однако решение этих уравнений удается
осуществить только в случае
S-коррелированного гауссовского потенциала v (*) в уже рассмотренной в §
10 области больших энергий Это и будет
продемонстрировано ниже.
Учтем прежде всего б-коррелированный характер потенциала, в силу чего
величины, снабженные значками + и -, статистически независимы. Поэтому
формула (11.10) приобретает вид
а (/с, ?) = 2ReJ/>0(-z)P1(z)dz, (11,13)
где
P0{z) = <b(z~z±{L, Е))>, P1(z)^<U±(L)d(z-z±(L, Е))>.
Эта формула впервые была получена в [9], но несколько иным, чем выше,
способом. В этом последнем состояния (л;) и уровни энергии Еп строятся не
путем сшивки (11.3) решений (л;) и фа (л:) в некоторой средней точке, а
более традиционным для одномерных задач способом, когда, например,
функция ф2(л:) подчиняется граничному условию на правом конце x~L:
za(L, Е) =r ctg aL , z2 -ф?/фа. (11.14)
Здесь aL - угол, задающий граничные условия при х~Ь, кон-
кретное значение которого несущественно при L-+ оо. При таком подходе Еп
являются корнями (11.14), а
Ф"(*) = Ф>(*. Еп)(\ ФК*'' E^dx>
(ср. с (11.3) и (11.6)).
Основываясь на исходном выражении (11.2), соотношениях
(11.14), (11.15) и вытекающей из них формуле
2 8 (Е - ?") = 8 (г. (2L, Е) - ctg aL) у. (2L)
П
(ср. с (11.9)), нетрудно найти, что
а(к> E)^{2L)-1q{Li ctgotL), (11.16)
где
q(x, z) = <|6L(x)|26(г_(лг, E) - z)>.
Предполагая по-прежнему, что потенциал является б-коррели-рованной
гауссовской случайной функцией, напишем, пользуясь правилом (10.22) -
(10.23) и динамическими уравнениями (11.7) и (11.12), уравнение Фоккера-
Планка для совместной плотности
-V*
(11.15)
152
вероятностей Р(х, z, V) величин z_ (х) и U_(x):
П=|Г(г=+?)Р)]+^[(гУ+""У-1)я]+о^.
Отсюда для функций Р0, Р* из (11.13) и q из (11.16) получим следующие
уравнения [9]:
^ = |[(гЧ-?)Л1+0^, (11.17)
Ж=|Кг> + ?)Р']-гР i-iKPi+p" + D7F' (11-18) ?*-(*• + ?> g+W.+Bg.
(11.19)
Как ясно из (11.13) и (11.16), Р0 и Рг при л; -^ оо имеют конечные
пределы, т. е. стабилизируются, a q при L-+ оо имеет вид q(L, z)^2La(K,
?') + /(г)+о(1). Подставляя такое выражение для q в (11.19), получим, что
а (к, ?) = (Z" + ?)|+2P1 + Dg-. (11.20)
В этом соотношении члены, содержащие производные, образуют
дифференциальный оператор, сопряженный к оператору справа в (11.17),
взятому в точке -г. Поэтому, умножая (11.20) на Л>(-г)* (11-17) на /(г),
интегрируя по г и складывая полученное, мы как раз и придем к соотношению
(11.13).
Мы уже убедились, что при исследовании одномерных неупорядоченных систем
весьма удобными оказываются фазовые переменные. Переход к ним
осуществляется с помощью замены
z± = k ctgq>± (11.21)
и приводит к следующим соотношениям: а {к, E)=±k~x <6П (<р+ (L, ?) +
<p_(I, ?))[V+ (L)sincp+ +
+ V_(L)sin ф_]>, (11.22)
X
V± {х) - - р-^ ( ехр [=F itc (xr - L)] r± (xf) sin ф± dx',
r + (*) J
0 (11.23)
st/2
а (к, ?) = 2^_1Re С P0(-q>)Pi (ф) sin q>dq>, (11.24)
- Я/2
заменяющим (11.10), (11,11) и (11.13). Здесь
Л>(ф) = <б(ф -<Р±(?, ?))>,
Л (ф) = <F±6 (ф - ф±(1, ?))>,
а бп(ф) обозначает я-периодическую 6-функцию, присутствие которой
обусловлено тем, что в терминах фазовых переменных
153
дисперсионное уравнение (11.3) приобретает вид
Ф +(L, En) + (p_(L, Еп)^лп.
11.2. Квазиклассическая область. Формулы (11.22) - (11.24), как и
(11.10), (11.11) и (11.13), являются точными. Для получения приближенных
формул, справедливых при высоких энергиях, перейдем к укороченной фазе й
(я) - ф (я) - kx и заметим, что при большом L всегда можно положить kL -
nn, где п - большое целое число. После этого, оставляя в (11.22) -
(11.24) только наиболее медленно осциллирующие члены, получим, что
а(ку Е)=:
Я/2
= (2ft)-1 Re \ Р0(- d)e№(P,(fe-к, b)+P1{k~\~K, $))db, (11.25)
- Я/2
Р0 (в) = 6 ("-"(/., ?)),
Л (к. ") = (?.) 6 (* - •"(?., ?))>, ( 1
X
piK (x-L) f* _
W{x)^~------ (г-Ых'-*-)г(х')ег-*и*'Ых'. (11.27)
r(x) J
Выведем уравнения, которым удовлетворяют функции Р0{$) и Pi (/с, $).
Напишем сначала, используя (10.32а) и (11.27), систему динамических
уравнений для пары (•Ь, W)\
- vJ2k + f{§), (11.28)
Г' =* М Г + iW +е-(11.29)
где"функция /($) определена формулой (10.33). Затем, пользуясь правилом
(10.22) -(10.23), составим уравнение Фоккера-Планка для совместной
