Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
плотности вероятностей величин $(л:) и H7(je):
- = Це-ю 4- IkW) Р14- Да + 2Д* _i_
+тт^р)+тт[^т^р)]- <n-30>
Интегрируя это уравнение по W, получим уравнение для Р0(й). Если же
интегрирование по W произвести после умножения на
W, то в соответствии с (11.27) придем к уравнению для Pi (ft).
Их вид таков:
7(r)? = 0, (П.31)
q4i^i&-mp>+iKP>+p^'<,=0- I11-32)
В записи этих уравнений производные дР0/дх и дР±/дх уже заменены нулями,
поскольку из смысла задачи ясно, что для вычис-
154
ления усредненной функции Грина и а (к, Е) достаточно знать однородные,
т. е. не зависящие от х, их решения, отвечающие макроскопическому пределу
L-> оо.
Из (11.31) следует, что
Л(")=4. Л(д) = Се-" С = д
Подставляя эти выражения для Р0 и Рх в (11.25), найдем окончательно, что
я (к, E) = -^[bl(K~k) + dl(K + k)], (11.33)
где
бг(/с) /д з ,
*W 1+ ("У2
И
G (/с, ?±i0)=*(? - K2±i/2x)~\ (11.34)
т -feD-1, D - Dx =Da. (11.35)
Из определения (11.1) а (/с, ?) вытекает, что
2jjr ja(/c, ?)<k = р(?), (11.36)
где р(?)- плотность состояний. Поэтому из (11.33) следует, что в
рассматриваемой области энергий
р (?) = (2пк)~г. (11.37)
11.3. Учет периодической составляющей потенциала. Хотя используемый нами
формализм и позволяет, как было показано в §§ 9, 10, установить
характерный для одномерных неупорядоченных систем факт экспоненциальной
локализации волновых
функций, но, будучи примененный к одночастичным характери-
стикам, дает те же результаты, что и обычная теория возмущений для
массового оператора [111]. Однако если учитывать возможность
пайерлсовского удвоения в одномерной системе [211] или периодический
потенциал решетки, то получающиеся результаты уже отличаются от тех,
которые дает теория возмущений. Мы здесь имеем в виду один из простейших
в определенном смысле способов учёта указанных факторов. Так,
периодичность решетки, т. е. периодичность расположения примесных
центров, можно учесть, считая, что коррелятор фурье-компонент случайного
потенциала пропорционален не b(q + q'), а б (<7 + q' +"Q), где Q - вектор
обратной решетки, а п - целое число. Поэтому, если, например, <7, q' ж
&f, то указанный коррелятор будет отличен от нуля и в том случае, когда
2&f ~ Q (наполовину заполненная зона). Это обстоятельство можно учесть,
считая отличными от нуля не только корреляторы <na(x)Ua(x')>, а=1,2, но и
коррелятор
<ц2 (х) а2 = 2ZVl'z б (х-х'), (11.38)
155
который раньше был равен нулю в силу закона сохранения импульса. Считая
его теперь не равным нулю, мы поступаем аналогично тому, как это делают в
электронной теории металлов, когда учитывают обусловленные периодичностью
решетки процессы переброса.
Аналогично, наличие пайерлсовского удвоения можно простейшим способом
учесть добавлением к v(x) периодического слагаемого вида Acos2&fX (вопрос
о самосогласованном определении щели А мы здесь не обсуждаем-см.,
например, [52]).
Поэтому уравнение для укороченной фазы приобретает вид
<n-39)
причем здесь, в отличие от (11.28), положено k - kP-\-qt kF^>q, •& = ф -
kpX. Далее,
р {Е) - п~г Im<G {х, х\ Е - Ю)> = <26(? -?я) |фй (*) |2>.
п
Исходя из этого выражения для р (Е) и рассуждая так же, как при выводе
(11.25), найдем, что
Я/2
р(?) = (2А)-1 j Р,тРА-(11.40)
- ЭТ/2
где функция Р9{Ъ) = <6(Ъ - Ъ(Ь, q))> удовлетворяет следующему уравнению,
обобщающему (11.31):
- ^ Ж Шр Ж cos +
+iii{^C0S(4a-x)+D'+2D^}-
Эта уравнение имеет очевидный первый интеграл, который после введения
обозначений
kpxj1 = Df, 3s = т3 (ta1 + 2ТГ1),
0 = 2Ат3, k=4qkFT3, 46-% - - 2ф
можно записать в виде
^X + @cos ^ф-yj + sin2"p^ Р0 -(3s-f соэ2ф^ = const.
Полученное соотношение в частном случае 0 - 0 было выведено в п. 6.6
другим путем. Будучи дифференциальным уравнением первого порядка, оно
позволяет найти Р0 в виде интегралов от элементарных функций. В случае 0
= 0 соответствующее выражение выписано и проанализировано в п. 6.6; более
общий случай рассмотрен в [52, 212].
156
11.4. Функция Грина при комплексных энергиях. Укажем теперь несколько
иной вывод выражения (11.10) для а(к,Е), приводящий попутно и к другим
полезным в дальнейшем соотношениям. Построим для этого функцию Грина
стационарного уравнения Шредингера, отвечающую комплексной энергии ? = Е-
\-1'8. Пусть, как и в § 9, а (х, <?) - решения этого уравнения,
удовлетворяющие условиям, сформулированным в начале § 9. Тогда нетрудно
видеть, что
Далее, решив последнее уравнение относительно функций У ±(х), убеждаемся,
что обе они положительны при всех х, и, поскольку предел z± при 8->- + 0,
как ясно из (11.7), совпадает с логарифмической производной волновой
функции, у±(х) в этом пределе совпадает с так же обозначенными величинами
из (11.8).
Так как р (Е) = я-1 Im <G (х, х\ Е~ Ю)>, или на основании (11.42) и
(11.43)
то из статистической независимости величин z± (L, Е) следует, что
р (Е) = J б (гг + г2) Р0 (zx) Р0 (z2) dzx dz2 = J Р0 (- z) Р0 (г) dz.
Мы получили аналог формулы (11.13) для а (к, Е). В отличие от формул для
