Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
а%~> 0, <Д> = const, (AiH-Ao)2^!^const, превращающего флуктуации щели в
гауссовские 6-коррелированные, формула (10.42), так же как и (8.24),
оказывается справедливой во всей области энергий, что полностью
аналогично ситуации, имеющей место при переходе от стохастической модели
Кронига - Пенни из п. 6.4 к модели из п. 6.2 с потенциалом, являющимся
гауссовским белым шумом.
10.3. Точные результаты для дискретных моделей. Простейшие из таких
моделей отвечают уравнению
-Уп+1-Vn-i + ип^п = 0. (10.45)
При Un - 2 - Мп<а*/К оно описывает гармонические колебания одномерной
изотопической цепочки атомов (Ми-их массы, являющиеся случайными, о-
частота, К-упругая постоянная цепочки). К аналогичному уравнению сводится
и уравнение Шредингера с потенциалом (1.17), моделирующим случайный
сплав.. Здесь роль играет ф(/га), а
Un - 2 cos ka + -у- sin ka, E=<k2, smka^O.
В дискретном случае в качестве огибающей решения естественно взять
величину гп = + ф|+1, поскольку она, подобно г(х) -
= (х) + (х)> никогда не обращается в нуль. Как и в непре-
рывном случае,
7= lim 2Т^Т<1п(^ + $+!)>•
I п I ОО * I П I
Для величины гп=*фп/ф"_1 из (10.45) получаем уравнение
zn+i~ - гпг Un (10.46>
146
и соотношение
откуда (ср. с (10.2))
П
где в правом равенстве среднее берется по стационарному распределению
вероятностей величины г.
Такое распределение удается найти [34] в том случае, когда плотность
вероятностей Uп имеет вид (распределение Коши)
Например, в случае модели сильной связи с диагональной неупорядоченностью
Un = E - еп, где гп-случайные сдвиги энергий, можно в качестве U0 взять
Е, и тогда вп будет иметь симметричное относительно нуля распределение
вида (10.48). В случае модели случайного сплава имеем U(l^2coska-{-
<.knyk~1 sinka, а величина (kn - <kny) <kn>~1smka распределена
симметрично. Параметры б и U0 распределения (10.48) удобно задавать в
виде комплексного числа ?/0-j-i6.
Чтобы найти стационарное распределение величин ги, подчиняющихся
рекуррентному соотношению ("уравнению движения")
(10.46), достаточно заметить, что если гп имеет распределение Коши с
параметром sn, то zn+1 из (10.46) будет тоже иметь распределение Коши с
параметром sn+1, связанным с sn соотношением
Этот факт проверяется прямым вычислением. Из него следует, что
стационарное распределение тоже будет распределением Коши с параметром,
являющимся решением следующего уравнения:
Р л 62+(U - 1У0)2 *
(10.48)
sn+1 - - f/0 -f- гб.
S - -S-1 -J- i/0-f*6.
Это решение удобно записать в виде
s
где х есть положительный корень уравнения
х* + {Щ-Ь* - 4)х-Ul 6а = 0. (10.49)
Вычисляя теперь интеграл в (10.47), найдем, что
147
или, решая уравнение (10.49) и подставляя результат в последнюю формулу,
окончательно получим
Y = arch [*/. (1^(2+U "У+6*+У(2 - ?/")*+6")]. (10.50)
Так как в случае модели сильной связи роль U0 играет энергия, то из
последней формулы следует, что в этой модели величина у (В) положительна
при всех значениях энергии.
В модели случайного сплава в роли U0 выступает 2 cos ka + + 0пУ k~l
sinfoz, k2 - E, а роль б играет Здесь, в
соответствии с общими соображениями (см. п.10.1), у(?)^=0 при sin&z=^0, а
при ka-+mn [34]
7 (?) = ________
- {2а(ka- тл) [<?"> - sign (ka - тп) V+ ба] (10.51)
Как мы увидим ниже (см. п. 26.2), у (Е) обращается в нуль как раз при тех
энергиях, при которых плотность состояний имеет особенности (между
рассеивателями укладывается целое число полуволн). Так как эти энергии
являются устойчивыми истинными границами, то отмечаемый факт иллюстрирует
общее сформулированное выше утверждение, согласно которому на устойчивой
истинной границе, где плотность состояний ведет себя так же, как в
невозмущенной системе, показатель роста волновой функции обращается в
нуль.
Однако в случае модели случайного сплава эти нули у(Е), так же как
особенности плотности состояний в п. 26.2, оказываются весьма
неустойчивыми относительно изменений модели. Так, они исчезают [190] при
добавлении к случайному потенциалу ^knb(x - na) произвольного
периодического потенциала.
Остановимся еще на результатах, полученных для модели сильной связи, в
которой присутствует недиагональная неупорядоченность, т. е.
для уравнения вида (1.13):
+ = (10.52)
Здесь точное выражение для у(Е) удается найти [198] в случае, когда
Un^a(Hn + Hn^), а> 1, а плотности вероятностей Нп и Un таковы*):
ПН)=- (Я-#0)2+Г2 * PW)--? (U-2aH0)*+ б2 '
б^2аГ.
Оказывается, что у(Е) по-прежнему описывается формулой
(10.50), в которой U0 и б необходимо заменить соответственно на Н0Е/ (Щ +
Т2), ТЕ/ (Щ+Т2). Анализ получающейся формулы
*) Для такой модели плотность состояний также может быть найдена точно
[199].
#2/
показывает, что с ростом Г, т. е. степени неупорядоченности в системе, у
(Е) сначала убывает, а затем, при больших Г, растет. Интересно, что, как
показывают численные расчеты [200], такая зависимость характеристик
локализации состояний от меры недиагональной неупорядоченности
