Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
нормировкой, то ясно, что невозможность ухода "массы" распределения Р (L,
a, U, у) на бесконечность является главной чертой математического
механизма, обеспечивающего дискретность спектра.
Чтобы исключить указанную возможность, достаточно, например, установить,
что при некотором 6 > 0 величина <v^. (0)> остается ограниченной при Ь-
+оо (при этом в силу (12.20) с необходимостью 6< 1):
<vi (<),?)>< С, (12.21)
где С не зависит от L. Действительно, если это так, то вероятность
больших значений у будет мала при всех L-+ оо,
166
поскольку для любого т >0
Рг {v (0) > т\ <1 т~ь С v6PL(v) dv ^ <' -.
J т° " т
т
Для доказательства (12.21) введем v (х) = (1 + v_(x))6 (для
определенности рассмотрим v_, поскольку для обеих величин v± рассуждения
аналогичны). Пользуясь уравнениями (12.9), найдем, что
v' =¦ SFv-j-g, (12.22)
где F == (- E-\-U +1) sin 2а (х), g = 6(1 -j- v)6-1 (F + sin2 а). Так как
v_ (-L) - 0, to v(-L)= 1, а потому из (12.22) следует, что
v (0) - exp |б J F (х) dxj + J g(x) exp |б J F (.x') dx'j dx.
Поскольку мы предполагаем потенциал U (х) ограниченным, то этим же
свойством обладает и функция g(x): | ^(лг) | < °°-
Поэтому
L
<v* > < <v (0)> < SL (6)+g" 5 %х (в) dx, (12.23)
о
2^(6) = (exp (б f /=¦ (дг') (12-24)
I 0 . )
В записи этих соотношений мы учли свойство однородности лары (a(x), U
(х)), для существования которого необходимо, кроме однородности
потенциала, предполагать еще, что в качестве "начального" распределения
этих величин в точке х =-L берется стационарная плотность вероятностей Р
(a, U) (а не функция P(U)6(а-а_), как мы предположили вначале). Такое
изменение граничных условий не сказывается на результате, поскольку, как
было показано в гл. I, спектральные свойства уравнения Шредингера во всем
пространстве не зависят от граничных условий, задающих оператор в
конечной, допредельной области. Фигурирующая в правой части (12.23)
функция ?*(6) (12.24) аналогична так же обозначенной функции (29.10).
Разница между ними в том, что в (29.10) стоит v/2k, а в (12.24) - (U-? +
1). Нетрудно, однако, убедиться, что это отличие несущественно, и потому,
так же как в п. 29.2, можно показать (см. [97]), что
функция (12.24) экспоненциально убывает при х~^оо и любом
б?(0, 1). Но тогда интеграл в (12.23) сходится при L-оо и, значит, вся
правая часть неравенства (12.23) остается конечной в этом пределе.
Таким образом, оценка (12.21) доказана, а вместе с нею завершено и
доказательство дискретности спектра всех реализаций уравнения Шредингера
со случайным марковским потенциалом на интервале (-оо, оо).
167
§ 13. Низкочастотная проводимость, коррелятор
плотность-плотность и локализация по Андерсону
В предыдущих параграфах было показано, что спектральные свойства
достаточно разупорядоченных одномерных систем существенно отличаются от
подобных свойств в упорядоченном (однородном или периодическом) случае.
Основные из этих отличий - плотный дискретный спектр и локализация
собственных функций при всех энергиях -должны привести к необычным
кинетическим свойствам таких систем, поскольку именно они, в отличие от
термодинамических свойств, весьма чувствительны к структуре состояний
системы. Выяснению некоторых из таких свойств и посвящен этот параграф.
После общего обсуждения вопроса (п. 13.1) в п. 13.2 излагается вывод
формул для проводимости сг(со) и корреляционной функции рд0(х-х'\ Е)
(4.6), выражающих эти величины через фазовые переменные, подобно тому как
это было сделано в § 6 для плотности состояний. Однако в случае
кинетических характеристик приходится рассматривать совместную
вероятностную эволюцию фаз, отвечающих двум значениям энергии. В связи с
этим уравнения Фоккера - Планка, управляющие этой эволюцией, содержат
большее число переменных, и решение их является основной технической
трудностью, которую здесь приходится преодолевать. Прежде чем переходить
к этой задаче, мы показываем, как у?ке из самой структуры уравнений
вытекает равенство нулю статической проводимости odc неупорядоченной
системы. Что же касается решения этих уравнений, которое необходимо для
нахождения асимптотики а(ю) при со -0 и коррелятора волновых функций, то
его удается осуществить в области достаточно больших энергий Ферми,
воспользовавшись, как и в §§ 10, 11, методом усреднения по возникающим
при малых частотах быстрым переменным. Соответствующие вычисления
проведены в п. 13.3. Наконец, в п. 13.4 мы обсуждаем некоторые обобщения
изложенных результатов, касающиеся главным образом учета взаимодействия
электронов с]^фо-нонами.
13.1. Общее обсуждение вопроса. Мы видели в §§ 9, 10, что
величину 1Л - (2у)~х можно трактовать и как радиус локализованного
состояния, и как длину свободного пробега электрона в поле примесей,
вычисленную по его амплитуде рассеяния на отдельной примеси в борновском
приближении. Поэтому, на основании формулы (4.12) Мотта, естественно
ожидать, что в рассматриваемой квазиклассической области кР1л^>\ активная
