Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
проводимость при низких частотах должна быть пропорциональна функции еЧл
(сот)21па (ют), т= lJvF. Важно отметить, что этот факт должен иметь место
при любой энергии Ферми ?Р, что представляется несколько удивительным,
так как при достаточно высоких энергиях вероятность рассеяния I электрона
на отдельной примеси мала (см., например, формулу (10.38)), и потому при
любой
168
их концентрации всегда будет существовать область энергий, где длина
свободного пробега гораздо больше, чем длина волны электрона. Но в такой
ситуации должно быть применимо кинетическое уравнение, которое, как
известно, приводит к отличной от нуля статической проводимости. Как было
показано в [102], неприменимость кинетического уравнения в одномерном
случае даже при высоких энергиях обусловлена специфически одномерной
интерференцией электронных волн, рассеянных на отдельных примесных
центрах, т, е. необходимостью учета волновых свойств частиц даже с малыми
длинами дебройлевских волн.
Согласно [102], активная проводимость при нулевой температуре в случайном
поле, являющемся гауссовским белым шумом с коррелятором 2Db{x-x'), имеет
при условии
со kF<^D<4k% (13.1)
следующую низкочастотную асимптотику:
Re а - (ют)а 1па (шт), (13.2)
/л -2?p/D, т = lj2kp = kp/D, Ер - Щ?. (13.3)
Пусть белый шум возникает как предельный случай потенциала, образованного
хаотически расположенными примесями. Тогда, согласно результатам § 6,
формула (13.2) применима, если ширина потенциала значительно меньше, чем
среднее расстояние # между центрами, рассеяние на которых рассматривается
в борцовском приближении*). Поэтому величина 1Л - kp/2nu%, где п -
концентрация примесей, а и0 - J и (*) dx, имеет смысл длины пробега в
борновском приближении (см. (10.38)), которая согласно (13.1) гораздо
больше, чем дебройлевская длина волны.
Заметим еще, что в настоящем параграфе, как практически всюду в этой
книге, мы предполагаем, что электроны имеют квадратичный закон дисперсии.
Случай произвольного закона дисперсии рассмотрен в [103].
В работе [102] для получения формулы (13.2) среднее значение произведения
двух функций Грина, через которое выражается проводимость и
корреляционная функция (4.6), представляется в виде ряда, полученного
путем использования теории возмущений и последующего усреднения.
Своеобразная диаграммная техника позволила выделить в области (13.1)
сравнительно малых флуктуаций и частот класс наиболее существенных членов
указанного ряда, вклад от которых удалось вычислить. В [103] эти
*) Ограничиваясь борновским приближением при вычислении амплитуды
рассеяния, мы тем самым предполагаем взаимодействие электронов с
примесями слабым, что и отражено условием малости межпримесного
расстояния 1 = п~г по сравнению с /л-длиной, определяющей размеры области
локализации электронов.
169
результаты были уточнены и дополнены. Главное же содержание этой и
последующих работ [104, 105] состоит в обобщении [102] на случай
электронной системы, взаимодействующей не только с примесями, но и с
фононами.
13.2. Формулы, выражающие проводимость и корреляционную функцию через
фазовые переменные. Согласно (1.32) активная проводимость системы,
находящейся в переменном поле частоты о, при Т = 0 есть
Reсг(<й) = ле2[ (Ер, Ер-\-<д), (13.4)
f(E" ?,) = <F(?1, Е,)>, (13.5)
где
F(?l, 2Щ^^ + Р (Х,Х')д^1 +
+dVd/-^x''^]dx' к13-6>
а рх, а (лг, *') есть оператор &(Elt2-Н) в координатном представлении.
(Здесь, в отличие от (1.33), выписана симметризованная по Ех и Е2 форма
функции F (Ег, Е2), более удобная для дальнейшего). Ясно, что F (Elf Et)
-lim FL(EU Е2), где FL(Elt Ел)-
00
функция, аналогичная F (Е1у Е2), для гамильтониана Н? на конечном
интервале (-L, L) с некоторыми граничными условиями на его концах,
зависимость от которых исчезает в пределе X,-> оо. В этом пределе можно
написать, что
L
FUEi, ?,)= [am,(x)dx, (13.7)
п, m _L
где wmn(x)^%L{x)^mL{x)-$nL{x)^nL{x), a Enl и фп1 (jf)-уровни энергии и
ортонормированные состояния конечной системы. Будем строить эти состояния
так же, как в двух предыдущих параграфах, т. е. путем сшивки
соответствующих решений в нуле. Тогда, используя соотношения (11.3)-
(11.6), (11.8) и (11.9) (см. также (12.8) -(12.13)), можем написать, что
FL(Elt E^i^-Zt-UWV + WfYbiz 1+ +[*!-)6(zt+ + z2_)\x=L,
(13.8)
где
z1± = z±(E1), Zi± = z±(E2),
iwd)/ \ Г Ф± (*'• Ф± (*'• ?i) Ф± j ,
W:±{x)=j dx *
(13.9)
Теперь, чтобы из (13.8) получить fL(Elt Е2), мы должны согласно (13.5)
произвести усреднение по реализациям случайного потенциала, и поэтому
выражение для fL(Eu Е2), в отличие от (13.8),
170
зависит от его статистических свойств. Имея в виду в дальнейшем
рассматривать область достаточно высоких энергий, где, как мы убедились в
§§ 6, 10, 11, всякий случайный потенциал с достаточно быстро убывающими
корреляциями может быть заменен гауссовским белым шумом с коэффициентом
корреляции
оо
D(k) = Va J B(x)cos2kxdxt
мы будем с самого начала предполагать, что у(л:)-гауссовский белый шум.
