Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
функции Р0 [zx, z2) и Pi (zlf z2), фигурирующие в (13.11), (13.12),
таковы:
Непосредственной проверкой можно убедиться, что при - Е2 функция Р0 (z^
z2) = б (zx-z^)P(Zi) является решением (13.14), если Р (z) есть
стационарное распределение величины г (х, Е) из
173
(6.16). Но тогда аналогичная проверка показывает, что Рг (zltza) = -
(z1~z2)P0(z1,z2) удовлетворяет (13.15). Это означает, что при Ег - Е2
подынтегральное выражение в (13.11) тождественно равно нулю. Таким
образом, f(E,E) = 0, а значит, и adc = 0.
Аналогично можно доказать обращение статической проводимости в нуль и для
потенциала (1.17) (см. [106]), а также в более общем случае конечно-
марковской случайной функции v(x). Выведем теперь формулу для величины
(4.6):
S s(?-?")(13.16)
'discr '
характеризующую локализацию состояний в окрестности точки Е. При этом
оказывается удобным рассматривать несколько более общую величину (ср. с
(4.13)):
Роо (*-*'; Е1} Е2) = <Ря, {х, х') р?а (х\ х)> =
= б (?i - Е) б (Е2 - Е') (х) (*') (*') (x)dE dE'), (13.17)
где символ ^...dE обозначает суммирование по дискретному
спектру и интегрирование по непрерывному*), а рЕ(х, х') есть оператор
6{?-Н) в координатном представлении. Если ввести оператор плотности
координаты p(x) = 6(x-х), то (13.17) можно записать в виде (ср. с (4.14))
Ра,(х-х'\ ?lt Еа) - <(6(Е1-Н)р(х)6(Ея - Н)р(х'))(0, 0)>.
Отсюда ясно, что величина рт(х-х';Е1, ?а) является квантовомеханическим
коррелятором плотность-плотность, усредненным по реализациям случайного
потенциала, а роа{х - х'\ Е) из (13.16) есть коэффициент при Ь{Ег - ?2) в
ней. Рассматриваемый коррелятор является, очевидно, пределом при L-*-<х>
следующего выражения:
^ 6 (Ei - EnL) 6(?а - EmLWnL (х) фяЛ (*') ^*mL (х1) {х)у
преобразование Фурье которого по х-х' равно
е.(к,Еи Е.) = [2L)-'(yib{El~E",)HE,-~EmL)
п, т
В свою очередь gM (к, Еи Е2) есть мнимая часть при Е1 = Е,
J ^nL(xWmL(x)eiKXdx (13.
*) В силу результатов предыдущего параграфа в рассматриваемом случае
непрерывный спектр отсутствует, и поэтому в (13.17) фактически остается
отлько сумма по дискретным уровням.
174
?2 = .Е4-(0 выражения
g(к, со) = (2nL)-1 (X E+v-EnL-ti I ^ еЫХdx
" " m ~L
>•
представляющего собой временную фурье-компоненту отклика системы, имеющей
фиксированное значение энергии, на слабое скалярное поле частоты со.
Рассуждая далее так же, как при выводе (11.10), (12.15) и
(13.8), найдем, что
6. (к, ш) =- <(Т^"" + в (г1+ + z,_) б (гя+ + г1_)>, (13.19)
где zJ± = z± (L, EJ), j == 1, 2, a WM {x) =* [ф± (jf, ?t) ф± (лг, Я,)]"1
X
xe±iK(.t-L) J eTiK(x'-L)^± (д.', i|)± (^'t E2)dx'. (13.20)
о
Усредняя (13.19) по реализациям с учетом предполагаемого
б-коррелированного характера случайного потенциала v (х), най-дем, что
(ср. с (11.13), (12.15), (13.11))
дн{к, со) =;2Re J Р0{- zlt - z2)P2(zx, z2)dzxdz2, (13.21)
где P0(zx,z2) есть, как и в (13.11), стационарная плотность ве-
роятностей величин zx_ и г2_, а
Р2 (zx, z2) - <1F<_2> б (zx-zxJ) б (2Г,-гя_)|"/.>и- (13.22) Используя
(13.13а), динамическое уравнение для W ? Г<*> = - (г1± + г,±) ± i/trgi +1
и статистические свойства случайного потенциала, нетрудно составить
аналогичную (13.14) -(13.15) систему уравнений для функций Р0 и Р2. Таким
образом, для вычисления проводимости, т. е. коррелятора ток-ток, и
коррелятора плотность-плотность в области энергий, где случайный
потенциал можно считать гауссовской б-коррелированной функцией,
необходимо решить указанные уравнения и затем подставить полученные
решения в соотношения (13.11) и (13.21).
13.3. Вычисление корреляционной функции плотность-плотность и
проводимости в квазиклассической области. Уравнения
(13.14) и (13.15), как и соответствующие уравнения для функций Р0 и Р2
(первое из которых, кстати, совпадает с (13.14)), представляют собой
дифференциальные уравнения в частных производных, и решить их при
произвольных значениях параметров Е} (c), к и D не удается. Воспользуемся
поэтому тем обстоятель-
175
ством, что наибольший интерес представляет область сравнительно малых
частот со<|?, а также будем предполагать, как это уже делалось в §§ 10,
11, что D^"<^E, т. е. что случайный потенциал мал. В этих условиях, как
мы знаем по опыту §§ 10, 11, можно применять метод усреднения по
некоторой "быстрой" переменной, значительно упрощающий соответствующие
уравнения. Заметим, что рассматриваемая область энергий по существу
является квазиклассической, поскольку неравенство D*/3<^E эквивалентно
неравенству
?/л> 1, (13.23)
где E = k2, /Л = 2&2/Д т. е. согласно § 10 -характерная длина, на которой
изменяется огибающая волновой функции.
Для того чтобы увидеть, какие величины играют роль быстрых и медленных
переменных, перейдем, как это неоднократно делалось в предыдущем
изложении, к фазовым переменным, положив
z^^ctgcp,, E^k% 1, 2.
В результате такой замены уравнения (13.13а) перейдут в следующие
уравнения для <р,- (*):
Ф t - k*-"^sin2<p-. (13.24)
щ
Полагая Ег^=Е, Ег = Е-\- о), Е = &2^><о, видим, что
