Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
(0, Е) при условии, что а± (± Е, Е) = а±, v± (± L, Е) = 0, a Р (U) -
плотность вероятностей U (0). Важный частный случай этой формулы,
получающийся при х~0, дает выражение для среднего значения спектральной
функции vL (Е) =s v0L (Е) из (12.5):
<v" (E)> = jp+(L,a, U)P. (L, a, U)
При и=*1 (12.15) дает выражение для р"{0\ Е) из (4.6), т. е. для
плотности величины рт(0, 0) из (4.4):
А" (0, 0) - f lim <vu (?)> dE.
Е-У oo
Напомним, что эта величина есть квантовомеханическая вероятность того,
что частица, вышедшая в начальный момент времени из точки х = 0,
возвратится в эту точку через бесконечный промежуток времени, и поэтому
положительность (Е) при данном
Е есть критерий Андерсона [5] (см. § 4) локализации состояний при данном
Е. Качественный анализ поведения величины <v1(?')>= =Р.(0; Е) как функции
энергии и параметров, определяющих степень беспорядка в системе, а также
обсуждение ряда свойств локализованных состояний на основе численных
расчетов для дискретной модели сильной связи содержатся в [101].
Воспользуемся теперь следующим, несложно доказываемым фактом [96]: если
последовательность любых дискретных, т. е., подобно (12.14), составленных
из 6-функций, весов
M?)-2W6(?-Еа)
164
сходится к весу (i(?) в смысле равенства (12.7) с положительной функцией
/(?), то в этом же смысле при любом и > О
lim (12.16)
?-> * i i 4 1
где Et и -точки, в которых сосредоточены б-функции и амплитуды при них
для предельного веса р(?') (при этом, конечно, предельный вес может иметь
и непрерывную составляющую).
Как показано в [96], при очень слабых предположениях о потенциале U (х)
для любого i
vt.L<C, (12.17)
где константа С зависит от интервала (Еи Е2), но не зависит от L и U (х).
Поэтому, обозначая через ve(E) непрерывную (т. е. не содержащую 6-
функций) часть спектральной функции v(?), будем иметь согласно (12.17) и
(12.16)
<v, (?)> < <v (?)>-С-* 2 <v1,+"6 (?-?¦)> <
i
<1ш^(Я)>-С-иНш '%v)i4(E-Ei)). (12.18)
L-"- ОО ? -* оо ' i '
Отсюда на основании формулы (12.15) и с учетом того, что, согласно
свойству однородности и изотропии случайного потенциала и уравнениям
(12.9), статистические свойства а+ (0) и v+ (0) совпадают со свойствами -
а_ (0) и v_ (0) соответственно, получим
<v,(?)><]>(", U)P(-a, и)^щва-
-С-" j Р (a, U, v,)P (-а, U, v1)(vl-t-vj-'i~jdadv1dv2, (12.19)
где Р(а, V) и Р(а, V, v) -стационарные плотности вероятностей пары (а(х),
U (х)) и тройки (a(x), U (x), v(x)).
Поскольку неравенство (12.18) справедливо при любом фиксированном х > 0 и
его левая часть не зависит от х, то, устремляя х к нулю, получим в
пределе
<vc (?)> = 0,
откуда, в силу неотрицательности vc(E) (или общих соображений из гл. I),
вытекает равенство этой величины нулю в каждой реализации. Таким образом,
спектральная функция уравнения Шредингера на интервале (-оо, оо) является
суммой бесконечного, но счетного числа 6-функций, т. е. спектр этого
уравнения чисто дискретный.
12.3. Некоторые статистические свойства нормировок волновых функций. В
рассуждениях п. 12.2 одно важное место нуждается в дополнительной
аргументации. Мы имеем в виду возможность предельного перехода L->оо в
неравенстве (12.18), который и приводит к основному неравенству (12.19).
В первом
165
слагаемом правой части (12.18) такой переход совершается без труда,
поскольку, как уже неоднократно указывалось выше, совместная плотность
вероятностей Р (L, a, U) пары (a (L), U (L)) в силу "хороших"
эргодических свойств потенциала U (х) и структуры уравнения (12.9) имеет
вполне определенный предел при L-> оо (стабилизируется). Более сложен
вопрос о предельном переходе во втором слагаемом. Дело здесь в том, что
фазовое пространство тройки (а(х), U (х), 'v(x)) (т. е, множество ее
значений) обязательно неограничено при L -*¦ оо даже в случае, когда
ограничен U (х). Причина этого - неограниченность величины v(x), которая
с ростом х может принимать все большие значения. В самом деле, если
вспомнить, что у_=да_/д?, то можно написать, что
Е
^<"_(°. ?)> = -5eJ<v-(0. E')>dE'.
- 00
Так как согласно осцилляционной теореме (см. § 6) левая часть этого
равенства при L-+ оо стремится к Ж (Е) - числу состояний с энергией, не
превосходящей Е, то подынтегральное выражение при L-+oo должно иметь
пределом плотность состояний р(?):
Hm ~ <v± (О, ?)> г=* р (?). (12.20)
Таким образом, среднее значение v± (О, Е) растет линейно при больших L.
Поэтому, если бы оказалось, что при L-+oo эта случайная величина все с
большей, стремящейся к единице, вероятностью принимает только большие
значения, то множество тех значений (a, U, v), для которых Р (?, а, V, v)
отлична от нуля, сдвигалось бы в сторону все больших v. Но тогда
предельная функция и тем более второе слагаемое в (12.19) оказались бы
равными нулю. Так как v+ (0) + v_ (0) есть по существу нормировочный
интеграл собственных функций задачи на конечном интервале и, значит,
большие значения этой величины отвечают собственным функциям с растущей
