Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
сохраняется и в многомерном случае, хотя там появляется качественно новый
эффект - существование в окрестности центра зоны целой области
делокализованных состояний.
Обратимся теперь к модели, где есть только недиагональный беспорядок,
положив в (10.52) Un - 0.
Как мы видели в § 5, плотность состояний в такой модели в случае
обобщенного пуассоновского (см. (5.26)) распределения величин Нп имеет в
центре зоны (при Е ->- 0) особенность вида Е~х11п?У//01-3. О
существовании особенности свидетельствуют также численные расчеты [201,
202], выполненные для других форм распределения. Поэтому по аналогии с
рассмотренными выше случаями следует ожидать, что у (Е) при Е - 0 должно
обратиться в нуль (см. также (10.44)). Оказывается, что это действительно
так [203, 204]. В самом деле, при Е=^0 уравнение
(10.51) приобретает вид + - 0. Отсюда для гп=
=фп/фл_1 получаем рекуррентное соотношение zn+l - -Hn_J(Hnz"). Поэтому,
используя (10.47), найдем, что
п/2
у (0) = lim п~1 2 In
/г-* " /= 1
Так как все Н}- имеют одинаковое распределение вероятностей, то пределы
/г/2 п/2
Ига п~х 2 In |^2/1 и Ига/г*1 2 ln [#2/-i|
п-*- <м /= 1 /г-"-" /- 1
существуют и равны друг другу, а значит, у(0) - 0. Если предполагать, что
Н}- статистически независимы (или, в более общем случае, что корреляции
между Hj и Hd стремятся достаточно быстро к нулю при |( - /[-* оо), то
можно показать, что амплитуды фп при 0 растут как ехр (cj/я) при я->оо.
Так как проведенные рассуждения верны практически для любого закона
распределения случайных величин Н}-, то обращение у(0) в нуль является
общим фактом. Иными словами, этот нуль у(Е) устойчив, в отличие от тех,
которые были рассмотрены выше.
Может возникнуть вопрос: существуют ли в модели с Un - 0 другие нули
у(Е), подобно тому как это имело место в модели случайного сплава? Ответ
на этот вопрос отрицательный. Именно, используя общий метод, развитый в
[78] *), можно показать, что
*) Этим методом в работе [34] доказана положительность у (Я) для модели
(10.45), характеризующейся только диагональным беспорядком, что иным
методом сделано в [95].
Btj-x
149
если Нп и Un все статистически независимы и распределение Un не
сосредоточено в одной точке, т. е. Un является случайной величиной,
принимающей по крайней мере два значения, то у (Е) > 0, каков бы ни был
закон распределения Нп. Если же Un - неслучайная величина, которую тогда
можно, изменив начало отсчета Е, считать равной нулю, то у(Е) > 0 при
всех Еф 0.
§11. Средняя функция Грина и спектральная плотность
В этом параграфе мы покажем, как формализм, развитый в п. 10.2 для
нахождения асимптотического поведения показателя экспоненциального роста
у (Е) в области энергий D*l* <^.Е - - <t/(jk:)><^rj2, может быть
использован для вычисления усредненной по реализациям одночастичной
функции Грина <G (х, х'\Е)У в этой же области энергий. Хотя эта величина
не является столь информативной и важной для кинетики, как двухчастичные
величины (коррелятор плотность-плотность, проводимость и др.), и
окончательное выражение для нее выглядит весьма просто (см. (11.34)),
использованные при этом расчете соображения и формулы составят
существенную часть аппарата, с помощью которого в § 13 будут вычислены
указанные двухчастичные величины.
11.1. Фазовый формализм. В силу известных спектральных представлений <G
(х, хг\ Е)> однозначно определяется спектральной плотностью (1.30)
L
а (к, ?) = ^(2в(?-?") Г e'^n(x)dx
п -L
), (П.1)
являющейся фурье-образом от л-11ш<С?(х, х'\ Е - Ю)> по аргументу х~х'.
(Ниже мы получим и выражение (11.45) для фурье-образа <G(x, х'\ ?)> и при
комплексных энергиях в терминах величин z и U из (11.4) и (11.11).)
Используя пространственную однородность в среднем рассматриваемых систем,
можем написать, что
L
а(к, ?) = 2Г J еЫ(х-х,)^-\тф (ху х'\ Е - Ю)> dxdx' -
-L
L
= J eiKX~^ Im <G (0, х; E - i0))dx=:
-L
L
(2 6 (E - En) (0) Г (*) eiKX) dx. (11.2)
n "J.
-L
Будем находить уровни энергии Еп и состояния ф"(лг) системы так, как это
было намечено в начале предыдущего параг-
150
рафа, предполагая для простоты, что хо=-0. При таком подходе Еп будут
корнями уравнения
z+(Lt E) + z_(L, ?) = 0, (11.3)
где
г± (х, Е) ~ ф'± (*, ?)/ф± (#,?), (11.4)
ф+(х, ?)=^(- x+L, Е), ф_(х, E)=^^2(x~L, Е), (11.5)
а ф^2(я, Щ - решения уравнения Шредингера, определенные условиями ф1ч 2(±
L) = sina±, ф1',а(±?) - cosa± (см. п. 9.1). Что же касается состояний фп
(я), то они будут иметь вид
... М+фж(*. ?"). 0<д;<L,
'•'" W \ (д:, ?"), - L < х < 0. 1 -б>
Здесь постоянные А± определяются условиями нормировки и непрерывной
сшивки в точке х-0 функций ф^2(лг).
Из уравнения Шредингера следует, что функции г±(х) удовлетворяют
уравнению
г'± = -4-?+". (И.7)
причем z±(0) = с". Дифференцируя (11.7) по Е и решая полученное линейное
уравнение с учетом соотношений
ж|"о = 0- 2]-2±it = ln4)2±,
найдем, что
</±" = -^=^J4(*')<i*', (И.8)
± о
а потому на основании (11.3)
2 6 (?-?") = (</+ (L) +у. (L)) 8 (г+ (L)+z_ (Л)). (11.9)
