Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
дискретного спектра. Именно, как мы выяснили еще в § 4, в любой
пространственно однородной неупорядоченной системе, удовлетворяющей самой
слабой форме условия ослабления корреляций -эргодичности, дискретный
спектр, если он существует, является плотным
*) Можно показать [100], что они не просто являются квадратично
интегрируемыми функциями, а экспоненциально убывают по мере удаления от
некоторой фиксированной точки.
6 И. М. Лифшиц в др.
161
множеством, т. е. в любой сколь угодно малой окрестности любой его точки
обязательно существует бесконечно много других принадлежащих ему точек.
Итак, покажем, что с вероятностью 1 спектр уравнения Шре-дйнгера со
случайным марковским потенциалом V (х) дискретен, т. е. что совокупность
собственных функций оператора -ds/dx2 + + V (лг), для которых конечен
интеграл
J |ф2 (x)\dx< оо,
образует полную систему в пространстве всех квадратично интегрируемых
функций. Для определенности будет рассматриваться интервал (- оо', оо),
однако как сам результат, так и метод доказательства справедливы и в
случае полубесконечного интервала, и для дискретных одномерных систем
(уравнений сильной связи и неупорядоченных цепочек, совершающих
гармонические колебания).
Согласно общей спектральной теории дифференциальных операторов [96],
структура спектра оператора, определяемого уравнением Шредингера,
полностью описывается его спектральной функцией v(?) - весом,
фигурирующим в соотношении полноты, т. е. в разложении 6-функции по
собственным функциям (в п. 12.1 мы уже встречались с этой величиной,
отвечающей уравнению Шредингера на полуоси). В частности, если спектр
оператора чисто дискретный (точечный), то v(E) равна сумме 6-функций,
сосредоточенных в точках спектра Et, амплитуда которых = = 'Ф!(0) +
ф1*(0), где Е{ и фг- (х) - нормированные на единицу собственные функции:
V (Я) = 2 V, 8 (?-?,) (12.4)
?
(вместо х = 0 в V, можно взять любую другую фиксированную точку).
Спектральная функция v (Е) является пределом аналогичных функций vl(E)J
отвечающих уравнению Шредингера на конечном интервале (-L, L) с
некоторыми граничными условиями в точках (-L, L):
ф (± L) cos сс± - ф' (± Е) sin сс± = 0.
Можно показать [41], что в рассматриваемой нами ситуации, когда U (х)
есть одна из реализаций случайного пространственно однородного процесса с
исчезающими на бесконечности корреляциями, v (?) не зависит от
граничных условий (углов <х±) допредельных задач. Если
обозначить через Еа и -ф/?(х) собственные
значения и собственные функции этих задач, то отвечающая им спектральная
функция vL(E), будет, согласно [96], равна
ЪАЕ) = ^аНЕ~Еа), (12.5)
где
vii= Фц. (0) 4- Ф(Х (0). (12.6)
162
\
При этом для любой непрерывной и финитной функции f(E) выполняется
соотношение
lim J f {Е) vL (Е) dE=[f(E)v (Е) dE. (12.7)
Будем строить ф/? (х) методом, который был указан в § 9, сшивая в нуле
решения фг(х) и ф2(х), удовлетворяющие условиям
фх,2 (dbL) = sma±, а (=Ь /-) = cos оь±, 0 <оь± < л. (12.8)
С этой целью удобно ввести переменные а± (х, Е), r± (х, Е),
яв-
ляющиеся решениями уравнений (ср. с (10.15), (6.2))
а' = cos2 a-j-(E - U (x)) sin2 a, (12.9a)
r' = r(-E + I + U (x)) cos 2a, (12.96)
такими, что a± (±L) = a±, r±(dzL) = l (a±- углы из граничных условий
(12.8)), и величины v±(x, Е):
, п. __ да± (*• Е)
v± (х, Е) =
дЕ
(12.10)
Тогда имеют место следующие факты:
1) каждый уровень энергии Еа есть корень уравнения
а+ (0, Е) + а_ (0, ?) = ял (12.11)
при некотором я, и наоборот;
2) f Л+л1?1 (х, EiL), х > 0,
. о. <12Л2>
где числа Л* определяются условиями нормировки ф^х) и их непрерывности
вместе с первыми производными в точке х = 0;
3) *
v+ (х) = г 2 (х) ) ф? (х') dx\
(12.13)
V_(x) -П2(х) 5 ф!(х')^х'.
-L
Рассмотрим весовую функцию
Vkl(?H2v^6(?-?J,
(12.14)
где х-любое неотрицательное число. Из (12.12) и равенства г\ (0) = г2_
(0) |e=eil> являющегося следствием условия непрерывной сшивки в нуле,'
вытекает, что числа viL из (12.6) равны
о L
viL-(Atyrl( 0)
{Ат)2 j ф! (х) dx + (Л+)2 J фI (х) dx
-L 0
0 L
(0) j ф! (x) dx + -jr (0) j* фI (x) dx
-L 0
6*
163
Кроме того, обозначая я-периодическую S-функцию через 6П (<р), можем
написать ввиду (12.10), (12.11) и (12.13):
6"(о+ (0. Е) +"_ (0, ?)) = ? 7 о-----------
Е=Е-
iL
С2 (0) J ^l^+r;2(0) J ^\dx j
-L 0 /
Из двух последних соотношений и (12.14) вытекает, что
v /рч Гбп("-(0,?) + а+(0,?)) jF ] J [v+ (0, ?) + v_ (0, ?)]*
Отсюда, учитывая марковское свойство случайного потенциала U (я),
согласно которому любые два функционала от V (я), определяемые
его значениями на правой (0, L) и левой (-L, 0) поло-
винах интервала, независимы при условии, что значение U (0) фиксировано,
получаем
у /с\ч Г Р+ (L, a, U, V3 Р_ (L, a, U, v2) dU , , , ,10
<V*L (?)> = ] --------(v.+v,)*-------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------
-----------------------------(12Л5)
где Р± (L, а, U, v) - плотность вероятностей величин а±(0, Е), У (0), v±
