Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
(27.27) формулы для ^h(s), так как при s-юо
П (*)<*?(*).
Подставляя (27.28) в (27.27) и учитывая (27.23), получаем (индекс I в
дальнейшем опускается):
(ts-2~diodsdy 1 <s<^s0,
d-1 /,(20*Уагг s <s
d V dad J ' 0
*) Хотя рассуждения, предшествующие формуле (27.23), относились к случаю
т = 3, не имеющему отношения к функциям PW (д:, у), такая же асимптотика
при s -*¦ оо получается и для вклада в 'In (s) от диаграмм типа J более
высокого порядка, ^
№
Сравнивая этот результат с р^(т]) (27.24), приходим к следующей картине.
Основной интегральный вклад в плотность состояний дает слагаемое р" (rj)
(27.24), порожденное основной систематикой; более того, этот вклад вносят
уровни с s~ 1. Что же касается локального вклада, то вплоть до значений s
да s0 1 он также связан с состояниями, описываемыми в рамках нормальной
систематики. При этом в области 1 <^s^s0 существенны флуктуации
разрежения все большего (с увеличением s) объема, приводящие к формуле
(27.24). Но при s>s0 (в области провала, предсказываемого нормальной
систематикой) определяющим является слагаемое р| (ц), порожденное
аномальной систематикой, именно оно дает основной, не зависящий (с
логарифмической точностью) от энергии вклад
Соответствующие состояния также связаны с флуктуациями разрежения. Однако
теперь радиус флуктуации фиксирован Lm- -Lm_x - s0, а возрастание s
приводит лишь к все более точному совпадению периметров Lm и L'm. Провал
в плотности состояний замывается, однако наличие "основного" слагаемого
р" (tj) все же приводит к минимуму р (т)) при т) -0, причем
In р (0) да In ра (0) ~ In рн (г]0).
Существенная роль, которую играет аномальная систематика в центре зоны rj
- 0, характерна именно для многомерного случая d > 1. В одномерной
системе, согласно (27.23), (27.24), плотность состояний имеет в центре
зоны интегрируемую особенность
Р('П)~(*0'1Ы"1+*"'- (27-29)
В частности, для модели (5.21) с притяжением (&в<0). гДе *==/|?ж|Ч 1\ =
{ЕЖ-Е)12Е" ?л -Я/4,
в полном соответствии с точным решением (6.91) из (27.29) получаем
-1 +--h--
р (Г|) С2 | Г] | *1?л1 2 , с- (2f)-1.
Отметим, что более детальное исследование позволяет правильно уловить
асимметрию численного множителя, предсказываемую формулой (6.91). В самом
деле, уровень s^>l может появиться путем реализации либо диаграммы 13
(рис. 11), либо 14 (рис. 12) (изображены перестраивающиеся части диаграмм
и один удаленный центр 5). На этих диаграммах x12=^s/2^>1, jt15>s/2, а
xt9 ~ jt34 ~ 1. Диаграмма рис. 11 порождает уровень s, причем
соответствующее значение г) = 2|?'л|ехр(-ts), в то время как для
диаграммы рис. 12 уровень s-2хщ соответствует значению
т
т) = - 21 Ел | ехр (- ts 4* 2fo23). Простой расчет показывает, что
вследствие такого различия плотности состояний р+(т)) в области т] > 0 и
р_(т]) в области г) < 0 связаны соотношением
P+(tl) - е"*гСР-(т1)" (27.30)
где С-некоторое положительное число порядка единицы (в (6.91) С = 0,5 In
2).
4 3 2 i 5 4 3 2 1 ^5
- о i;i 0. >- -е---------------------•-(c)-
Рис. 11.
Результаты, полученные в этом и предыдущих пунктах, позволяют четко
представить структуру спектра примесной зоны
4 3^2 1 5 432 1 з
-вЭЭ FF-- "------------0. >_ -ОЕДХ^-О----•------ ?.
Рис. 12.
(рис. 13). Начнем обсуждение со случая малой концентрации сфкр (^^>1),
когда все состояния локализованы (таким состояниям соответствует
заштрихованная область на рис. 13). Вблизи границ егр и егр спектр
обусловлен макроскопическими флуктуациями типа рассмотренных в гл. IV. С
уменьшением j е | мы постепенно переходим к кластерной области, связанной
с флуктуациями сгущения, когда небольшое (2,3) число центров находится'
друг от друга на расстояниях, много меньших среднего /. Эта область
исследована в п. 27.2 с помощью разложения по концентрации c~t~d. Еще
меньшим значениям |е|~ ~| е (/) | отвечают состояния, описываемые
нормальной систематикой. Их плотность в области s^>l дается формулой '
(27.24), а малый параметр при этом есть t"1 (см. ниже формулу'(27.31)).
Наконец, в^ближайшей окрестности точки е 0 основную*роль играет
аномальная систематика. Ширина этой окрестности в логарифмическом
масштабе
d
имеет порядок t d_1 и с увеличением размерности d стремится к ширине
всего спектра, которая в том же масштабе равна f_1. Поскольку при с > скр
делокализованные состояния впервые появляются где-то в окрестности точки
е = 0, это может указывать на увеличение с ростом размерности
пространства возможности появления делокализованных состояний. В
окрестности кривой
Рис. 13.
300
с = скр(е), отделяющей локализованные состояния от делокали-зованных, где
флуктуационные эффекты должны играть определяющую роль, по-видимому,
нельзя указать какие-либо характеризуемые конечным числом параметров
способы описания состояний. Ситуация в этой области, вероятно, в
значительной мере сходна с той, которая имеет место в окрестности точки
фазового перехода II' рода (скэйлинговая область) или в турбулентной
