Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
радиусом корреляции, так и с характерным расстоянием г (в), эта формула
снова приводит к выражению (27.8) для сглаженной плотности состояний и,
следовательно, к результату (27.9).
285
Обсудим теперь вопрос о существовании разрешимой тонкой структуры
плотности состояний. Для этого следует учесть сдвиг бв/ (г) парных
уровней (порожденных двумя центрами, которые находятся на расстоянии
г<^.1), вызванный наличием ближайшего к данной паре третьего центра на
расстоянии г' ~ /. Этот сдвиг, как видно из решения трехцентрового
варианта задачи (27.2), равен
8elfl(r, г') = 8jf2(г) (1 +(тг)2ехр(- 2&0[г'~г|)) .
Поэтому плотность состояний имеет вид
p(s) = 2pr(e),
U г
где парциальная плотность состояний в соответствии с (27.11) есть Р;<е> =
^?<а<е-8'(г)_8е'(г- О". (27.12)
а угловые скобки означают здесь усреднение по координате г' третьей
примеси. Выполнив его, нетрудно убедиться, что характерная ширина Лг(е)
пика, описываемого формулой (27.12), обусловлена соседями с г' ~ I и
имеет порядок
t о
Аг (е)~1ТГеХр(- 2к°^
Расстояние же между соседними дискретными уровнями в этой области (| е |
^> | е (/) |) равно, согласно (27.9),
Е*
Л(е).
Г3 р"1 (е)
^|е|-1п-2
Условие разрешимости тонкой структуры плотности состояний есть
Лг(е)<^Л(е) или
{ak о)
3/2
In
Ео
ехр (-- *0/).
При малой концентрации (27.1) это неравенство, по сравнению с исходным
условием (&) /, ограничивающим область пар-
ных уровней и имеющим вид
е
т~ >ехр(-V).
?-0
выполняется в заведомо более широкой области спектра. Поэтому примесная
зона твердого раствора при малой концентрации всегда имеет в области
парных уровней разрешимую тонкую структуру.
27.3. Систематика уровней и состояний при малой концентрации центров.
Разложение по степеням концентрации правильно описывало "кластерную"
систематику состояний в области |в|^> ^>|е(/)1, подробно исследованную в
предыдущем пункте для
286
модели беспорядка замещения. В этом и следующем пунктах мы будем
рассматривать более общую модель структурного беспорядка, описываемую
системой уравнений (27.2). Конфигурациям общего положения в такой модели
отвечают расстояния между ближайшими друг к другу центрами ги ~ /, и
поэтому главный вклад в плотность состояний вносит область значений
энергии 11пт) | ~ t^> 1. В этой области возникает совсем иная
систематика, к изучению которой мы сейчас перейдем.
Рассмотрим сначала вспомогательную задачу о спектре бесконечной
трехмерной системы с конечным числом N примесей, образующих скопление с
объемом V. В типичной ситуации имеем N13 а* V, а неравенства Nl3^> V и
Nl3<^.V отвечают флуктуациям, соответственно сгущения и разрежения.
Первые, как мы видели, формируют спектр в области | в|^>| &(/)[, вторые
ответственны за состояния в непосредственной окрестности локального
уровня |е|<|е(/)|.
Уравнение для спектра в соответствии с (27.2) имеет вид
det
|| = 0. (27.13)
Разложение этого определителя по степеням т) дает
N
2 (27.14)
П-2
Коэффициенты Qn представляют собой суммы
k
отдельные слагаемые в которых имеют вид
QI(П&-(-1 )'* ? -- te'Д5то)) ¦ (*)-*•
т = 1
В этих выражениях Г", вообще говоря, многосвязный "-угольник с вершинами
в " различных точках, занятых примесями; индекс k нумерует такие
многоугольники. Каждый из них, в свою очередь, разбивается на /й простых
петель Г^(т) (т=* 1,2, ../Л), которые задаются своими р (т) вершинами и
порядком их обхода. Наконец, S (Гр(т)) есть периметр, а -произведение
длин
сторон петли Гр(т).
Такая структура коэффициентов Qn при t-> оо приводит к наглядной
геометрической систематике уровней и состояний. Считая t самым большим
параметром задачи, мы будем сначала пренебрегать весьма маловероятной
возможностью совпадения с точностью до t~x периметров различных "-
угольников Г?. При этом каждый из коэффициентов Qn определяется вкладом
от
287
/г-угольника Ги, имеющего минимальный периметр. Поэтому
Qn ~ аиехР (- tLn), (27.15)
где определяемая этой формулой величина Ln с точностью до член-ов порядка
t~l есть периметр минимального контура Гй:
к
а величина ап равна плюс или минус единице* в зависимости от того, на
четное или нечетное число петель разбивается /г-угольник Гл, имеющий
минимальный периметр. Наконец, введя новую энергетическую переменную s =
- ?-1 In | т] | (27.4), запишем (27.14) в виде
N
1 + 2 °п ' №п Л)" ехр [- t (Ln-/is)] = 0. (27.16)
п - 2
При произвольном значении s все слагаемые в этом уравнении имеют
различный порядок малости (по параметру e~f), а весь определитель отличен
от нуля, так как определяется лишь одним (максимальным) слагаемым (в
частности, первым при s-* 0). С увеличением s показатели экспонент в
уравнении (27.16) возрастают тем быстрее, чем больше номер п. Поэтому,
если при некотором s - s± наибольший порядок имеет член с п - пг, то
ближайший корень s2 > st уравнения (27.16) появится, как только какой-
либо из показателей последующих слагаемых с. номерами п > nt впервые
сравняется с t{nts2-Lni) и т. д. (совпадение
