Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
последовательность минимальных контуров {Г"} обеспечивает реализацию хотя
бы один раз диаграммы 9?.
Для каждой точки из области центры естественным образом подразделяются на
три группы. Первую составляют т частиц, входящих в перестраивающуюся
часть минимального контура. Этим центрам мы определенным образом припишем
номера 1, 2, ..., т (при этом область интегрирования в (27.19) сужается,
а перед интегралом появляется соответствующий множитель CR). Вторую
группу образуют п-т центров, принадлежащих непе-рестраивающейся части
Гп_га минимального контура Гл, порождающего диаграмму 91 (при этом разным
точкам области Гя отвечают, вообще говоря, различные значения п).
Наконец, все остальные N--п центров входят в третью группу.
Теперь область интегрирования в конфигурационном пространстве
ограничивается следующими условиями (а, б, в). Во-первых, должна
реализоваться диаграмма 9t, Это условие .(а) отражает минимальность
контуров и П,-1<2> и одно из неравенств ат > Ьт (ат < Ьт) и сводится к
системе линейных неравенств, которым должны удовлетворять расстояния хи
между центрами, входящими в перестраивающуюся часть Г^. Во-вторых, N-п
центров третьей группы не должны нарушать условия реализации диаграммы
91. Это условие (б), очевидно, сводится к следующему. Построим вокруг
каждого из т центров, входящих в Гт, сферу радиусом, равным расстоянию от
данного центра до его ближайшего соседа. Область пространства,
ограниченная такими частично перекрывающимися сферами, определяет
некоторый объем "я(х1( х2, ..., хт). Тогда все N - п центров должны
находиться вне этого объема. Наконец, третье условие (в) требует, чтобы
п-т центров, входящих в неперестраивающуюся часть Тп_т,
*) Запись (s) в так°м виде несколько условна, так как индексы i и /,
нумерующие центры, входящие в перестраивающуюся часть диаграммы Г^,
принимают в разных участках области различные значения, хотя набор
коэффициентов {а3*} для данной диаграммы 9? фиксирован.
293
г
I
также не нарушали условия реализации диаграммы 97. При этом некоторые из
них могут попадать в объем со, однако тогда их расположение внутри а)
ограничивается дополнительными неравенствами, связывающими расстояния Хц
между центрами, входящими в перестраивающуюся (i) и инвариантную .(/)
части минимального контура. Поэтому вклад 5*"(s) в плотность состояний от
диаграммы 37 также представляется в виде суммы
N-m
*"(") = 2
<7=0
где отдельное слагаемое 5^ (s) отвечает попаданию q центров из
инвариантной части Гя_да в объем o)(xIt ..хт), В частности, первое
слагаемое в этой сумме имеет вид
5^0) (s) =* J ехр [-щ. (х1( ..., хот)] б (s-2 ($txt j) dx2... dxm,
Qm
(27.20a)
где область интегрирования определяется неравенствами, отражающими
условие (а). Появление в объеме со дополнительных q центров приводит к
выражениям вида
(s) - J ехр(-(Ой) б (s-2 а* хи) (xt, ..., xm)dxt... dxm,
Qm
(27.206)
где функция f%} такова, что
0 <р<с,^,
причем численный множитель Cq чрезвычайно быстро убывает с ростом q.
В качестве примера рассмотрим вычисление в явном виде слагаемого ^$>(5)*
отвечающего единственной диаграмме второго порядка типа II. Такое
слагаемое реализуется, если две примеси, входящие в перестраивающуюся
часть, находятся на расстоянии хи друг от друга, а остальные удалены от
каждой из них на расстояние, превышающее х12. Поэтому
(s) - J е~ (r)(дс) б (s-х) dx, х - х12
((и(х) - ъ/Апх3-объем объединения двух шаров с радиусом х и с таким же
расстоянием между их центрами), откуда
(s) = 4 ns2 ехр (-(r)/4^s3). (27.21)
Заметим, что уже одно это слагаемое дает почти 2/3 всей интегральной
плотности, так как
оо
f *Й\(s)ds = ^v
№
Аналогичным образом можно получить явные выражения и для других слагаемых
Ясно, что все они будут иметь вид
C^s3ff+2exp (- jvrs3),
где p,?gj(s)~l, а численные множители быстро убывают с увеличением
порядка диаграммы т [192] и числа q.
При s<^l (|е|^>|е(/)|) определяющую роль играют парные флуктуации
сгущения, отвечающие слагаемому (27.21),
и поэтому
(s) л; 4ns2.
При s ~ 1 вклад в 5(s) ~ 1 дают и остальные слагаемые. Наконец, при s ->
оо, как мы сейчас покажем,
ln5*±(s)?s:-(n/6)s3, s -*- оо.
Объединяя эти результаты, приходим к интерполяционной формуле
5s± (s) " 4 ns2 ехр (-s3 p(s)), (27.22)
где плавная функция p(s)~ 1 меняется от значения 9я/4 = р(0) до п/6 = lim
р (s).
S-Уоо
В рассматриваемой нормальной систематике появление уровня s^>l всегда
связано с флуктуацией разрежения, когда один или два центра (для диаграмм
типа I и II соответственно) удалены от всех остальных. Более вероятными
являются диаграммы типа I, так как для них объем разрежения при
фиксированном s 1 существенно меньше, чем для диаграмм типа II. В силу
условия s^> 1 для таких диаграмм возникает "квазиодномерная" ситуация. На
рис. 9 изображена левая Рис. 9.
часть диаграммы 13, причем волновая
функция локализована на удаленном центре хх. Для уровня s получаем
откуда
s = х12-х33+х13 = 2х12-2х23 sin!
