Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
этих случаях волновая функция с точностью
ТАБЛИЦА 2
/77 о + г%- о + Г&-2 2s-ZSnt
0^0' 1 Цг
4 о\ f-о', г 2{х^хггГхй)
5. 27^- ~х13~х23
. . .
до экспоненциально малых добавок локализована на двух центрах, входящих в
Гт и не входящих в Г"_2. При этом коллективизированы состояния между
сравнительно далекими друг от друга центрами (например, 3 и 4 для
диаграмм типа 114), в то время как остальные центры практически не дают
вклада в ф. Вместе с тем уровни энергии определяются разностью L*т-
L*m._2, включающей большее число расстояний. Ситуация здесь в какой-то
мере напоминает то, что происходит в периодической структуре в
.приближении сильной связи: перекрытие волновых функций для ближайших
центров приводит к коллективизации состояний на больших расстояниях, где
никакое прямое туннелирование невозможно. Однако вероятность спаривания
далеких центров за счет диаграмм более высокого порядка численно быстро
убывает с увеличением порядка диаграммы.
До сих пор речь шла о вспомогательной задаче определения спектра
бесконечной системы с конечным числом N примесей, образующих скопление,
объем которого имеет порядок V. Тем не менее, систематика уровней и
состояний, построенная выше, справедлива и для системы с бесконечным
числом примесей, среднее расстояние между которыми равно I. Чтобы
убедиться в этом, заметим следующее. Условие реализации каждой из
диаграмм, как будет показано в п. 27.4, представляет собой систему
линейных неравенств относительно расстояний хи, задающую некоторую
область в конфигурационном пространстве, относительный объем которой дает
вероятность этой диаграммы. Характерные размеры таких областей Ахц ~ 1, а
точность определения границ между областями (ширина "перемычек") есть
бчто обеспечивает устойчивость систематики при t^>l, Однако по мере
возрастания порядка диаграммы т соответствующий ему относительный фазо-
10*
291
вый объем, а с ним и размеры Ал:,-/, численно быстро убывают. Требование
(Аху)т^> указывает, насколько высокого порядка
диаграммы могут быть сохранены в построенной систематике при заданном
конечном t. Соответствующее условие имеет вид t / (т, х,7), 1 ^ i, j ^ т;
в него входит число перестраивающихся вершин т (порядок диаграммы) и
расстояния между ними, а не полное число центров N. Именно поэтому все
полученные результаты справедливы и при N -*¦ оо. *
Физический смысл этого обстоятельства очень прост: при очень больших N и
V случайное совпадение расстояний х-и- ж ttXyj' ~ 1 между парами
примесей, расположенных в далеких областях пространства хц> 1, не
сказывается на локализованных в каждой из этих областей состояниях (в
этом проявляется аддитивность плотности состояний и отсутствие
делокализации). В терминах построенной систематики это обстоятельство
связано с наличием перестраивающихся, уже "застроенных" вершин,
расположенных в других областях пространства, и указывает на возникающую
факторизацию левой части уравнения (27.14). Поэтому для конфигурации
общего положения задача об определении спектра системы с бесконечным
числом примесей сводится к бесконечному числу вспомогательных задач с
конечным (и, по-видимому, небольшим) числом центров.
27.4. Плотность состояний и пространственные корреляторы. Систематика
состояний, развитая на основе диаграмм, изображенных в табл. I, II,
является универсальной и не зависит от числа рассеивающих центров п (от п
зависит лишь неперестраивающаяся часть контура, обозначенная кружком). В
силу нечувствительности каждой из диаграмм к п мы можем объединить все
диаграммы одного порядка т, отвечающие различным значениям п и имеющие
топологически эквивалентные перестраивающиеся части, в одну. Описанный
выше способ построения диаграмм показывает, что различные диаграммы
представляют собой взаимоисключающие события, а полный набор диаграмм
исчерпывает асимптотически все возможные случаи.
Плотность состояний
Р (л) = Р+ (Л)0 (Л) + Р- (л)0 (л) связана очевидным соотношением
/Зр± (л) <*л=^± (s,t)ds, J(^+ (s,0+^- (s,t))ds= 1
с плотностью вероятностей появления уровня s (отвечающего определенному
знаку rj), которая есть сумма слагаемых, порожденных нормальной,
аномальной и дополнительной систематиками:
5*± (5,0 -П (s,0+n (Sj) + S*± (.S,t).
В свою очередь функции имеют вид
<55 1/(55 I <55
J ± - /i'-' II " 1±" .
292
где 3*п-сумма вкладов диаграмм типа II, a 5s,± - диаграмм типа I,
отвечающих положительным или отрицательным значениям т|. При t-+ оо весь
вклад в S*± (s) вносят состояния, описываемые нормальной систематикой.
Вклад в ^"(s) = lim 5*±(s,f)
отдельной диаграммы 9( (символ 9t включает в себя тип I или II диаграммы,
ее порядок т, а также индекс k, нумерующий топологически неэквивалентные
диаграммы одного типа и порядка) равен*)
5"*(s) = <6(s-2Ifl3jP//)>=-V-^ J 6(s-2a?/*,/)dr. (27.19)
Здесь коэффициенты а*-те же, что и в формуле (27.18), dT есть
произведение дифференциалов координат всех N примесей, а Гдг-область
конфигурационного пространства, для каждой точки которой
