Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лифшиц И.М. -> "Введение в теорию неупорядоченных систем " -> 111

Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.

Лифшиц И.М., Гредескул С.А., Пастур Л.А. Введение в теорию неупорядоченных систем — М.: Наука, 1982. — 360 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriyuneuporyadochennihsistem1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 145 >> Следующая

векторы | Ь{у, но и амплитуды Ut, т. е. когда (25.6)
заменяется
на оператор вида
т
№>+5] т = 0,1....N,
где Ut - независимые друг от друга и от \ bty случайные величины с
одинаковой, но произвольной плотностью вероятностей Р (U). Оказывается,
что в этом случае (25.10) заменяется на уравнение
*ю-/.(?_с$?<а"). (25.П)
Подробное изложение и обоснование описанной выше процедуры отыскания g(E)
можно найти в [181, 22], где проведен анализ уравнения (25.11), а также
рассмотрены некоторые примеры, когда
(25.11) можно решить в замкнутом виде. Среди них-случай, когда
плотность вероятностей Р (U) имеет вид
Р ^0=='гГ [/2+уа '
(распределение Коши). Там же дан общий метод качественного исследования
решений уравнения (25.11). Он основан на том, что на тех участках оси
энергий, где р (Е) = 0 (дополнение к спектру), предел g(E-\-iO) (25.10)
является непрерывной вещественной и монотонно убывающей функцией. Поэтому
на таких участках существует обратная к g(E-\-iO) функция, которая тоже
непрерывна, вещественна и монотонно убывает, причем очевидно, что область
ее значений совпадает с дополнением к спектру. Обозначая эту обратную
функцию через Е (g), найдем из (25.10), что
?(g)°-g.(g) + cjt/i^gU • (25.12)
где E0(g)~функция, обратная к ?(?-И0)|*=о из (25.10). Таким образом,
получаем следующее правило: нужно найти интервалы монотонного убывания
правой части (25.10), куда входят только известные величины, и отметить
на оси ординат область значений,
273
принимаемых на этих интервалах; дополнение к этому множеству и будет
спектром. С помощью этого правила можно исследовать качественную картину
спектра: число и взаимное расположение зон, а также поведение р(2;)
вблизи их краев. Оно обычно имеет вид y\E-Erv\, где ?гр - положение
соответствующего края зоны.
25.2. Полукруговой закон. Следует отметить, что весьма близкая к
рассмотренной выше модель встречается также и в задачах, возникающих в
ядерной и атомной физике при попытке статистического описания
энергетических спектров тяжелых атомов и ядер, которые даже при не очень
высоких энергиях состоят из большого числа густо расположенных уровней. В
этих условиях естественно обратиться к статистическому описанию [182-184]
и получать плотность состояний и другие характеристики достаточно больших
серий уровней как средние соответствующих величин, относящихся к
отдельным представителям некоторого ансамбля гамильтонианов.
Так как обычно интересуются сериями уровней с одинаковыми квантовыми
числами (спин, четность), то в качестве модели можно взять эрмитоэские
матрицы достаточно большой размерности N, предполагая в простейшем
случае, что элементы этих матриц являются статистически независимыми.
Такая модель при дополнительном предположении о симметричном относительно
нуля одинаковом гауссовском законе распределения матричных элементов была
впервые рассмотрена Вигнером в [183]. Оказалось, что плотность состояний
матриц N-1/sHn при N -> оо имеет вид
P<?>=a^4t/2-?'' (2?>. 1Э)
где U* = <H)k>, называемый обычно полукруговым законом.
Впоследствии было показано [185], что аналогичный вид имеет плотность
состояний и в ряде других случаев.
Оказывается [186], что формула (25.13) может быть получена на основании
соображений, аналогичных тем, которые привели к формуле (25.11).
Действительно, рассмотрим матрицы вида
HN = H° + UN.
Здесь Н° -неслучайная матрица с плотностью состояний р0(Е), а матричные
элементы случайной матрицы Un статистически независимы при i < k и
таковы, что случайный вектор, образованный каждым ее столбцом, является
вектором типа тех, которые фигурируют в (25.6). Можно убедиться, что это
условие будет выполняться, в частности, и в том случае, когда матричные
элементы Un имеют вид N~1/2Uik, где Uik таковы, что <Uik> - О, <U%> -
?/3, и потому рассмотренные в [183, 185] гауссовский и более общие
ансамбли включаются в нашу схему.
При сформулированных условиях удается показать [186], что функция g (?) =
N-1 Sp (Е - N-^Hn)-1, определяющая плотность состояний, в пределе N -юо
удовлетворяет сходному с (25.12)
274
функциональному уравнению
ё(Е) -f о (Е-U*g (?)),
где f0(E) определяется формулой (25.9). Для получения (25.13) необходимо
положить Н° равным нулю, и тогда (25.11) превращается в квадратное
уравнение
g=(E-U*g)~\
решение которого находится без труда и после перехода на вещественную ось
Im Е -0 и взятия мнимой части приводит к (25.13).
§ 26. Некоторые точно решаемые примеры
Здесь мы рассмотрим некоторые случаи, когда оператор <G> и плотность
состояний можно найти в замкнутом виде.
26.1. Модель Ллойда. Обратимся прежде всего к случаю, когда в
гамильтониане (22.8) статистически независимые случайные амплитуды Uп
имеют плотность вероятностей [187] вида
P(U) = yn-4(U~U0y + y*]'K (26.1)
Пользуясь формулой (22.14), выделим, подобно тому как это было сделано в
(22,15), явную зависимость G от некоторой фиксированной амплитуды Un\
G - G,'° + i-TT^W* G°"p-G'">- <262>
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed