Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лифшиц И.М. -> "Введение в теорию неупорядоченных систем " -> 112

Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.

Лифшиц И.М., Гредескул С.А., Пастур Л.А. Введение в теорию неупорядоченных систем — М.: Наука, 1982. — 360 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriyuneuporyadochennihsistem1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 115 116 117 118 .. 145 >> Следующая

где Gln>"-функция Грина гамильтониана (22.8), в котором Un = 0. Но для
любого комплексного числа ? имеем
<(и а-.;-Г p(U)dU 1т?>0,
" ¦ Q >_J o-l -\ (U-0-. ImJ<0, (2Ь-3)
где ?о=^о + iy. Поэтому
< ?
Л V ----;- ----------. 1ш?>0,
/ U" \ -J l-So<n|G<")(?)|n> ^
\ 1 - Un<n\GW\n> /" 1 т-
1 1 " 1 ь 1ш? < 0
(26.4)
Здесь символ <...>" обозначает усреднение только по случайной величине Uп
и учтено вытекающее из разложения G по собственным функциям соотношение
sign Im <л | G(n> {Е) | л> ~- sign Я.
Из (26.4) и (26.2) вытекает, что усреднение G по одной амплитуде Uп
приводит к замене в гамильтониане случайного оператора ип\п><п\ на
?0|/1><я|, Im? <0 (?о|п><л1" lm?>0).
37§
Поэтому усредненная по всем Un функция Грина равна
= lm?<0, (26.5)
и соответствует эффективному гамильтониану вида
Нэфф = Н° + Со*
Таким образом, в рассматриваемом случае оператор собственной энергии
оказывается комплексным с-числом:
( )_U" Im? < 0.
Из (26.3) видно, что плотность состояний в этой модели равна р (Е) - я-
11ш <01 <G (Е-Ю)> 10> =
(26-6>
и получается усреднением р0(?-U) по случайному сдвигу V. Поэтому р (Е)
отлична от нуля при всех Е и нигде не имеет особенностей (и даже
аналитична по ?). Кроме того, при | Е | -> оо имеем *) р (Е) у/лЕ2.
Так как G" (Е) - (-l)rt dnG (E)/dEn, то из (26.5) вытекает также, что для
любого целого п *
<G*(?)>-"G (?)""- (26.7)
Немногим более сложное вычисление, использующее доказываемое путем
дифференцирования (26.3) по С равенство
<(?/"-?)-">- <(Un-Q-'y*, Im С < 0, (26.8)
позволяет утверждать, что соотношение, аналогичное (26.5) и
(26.7), верно также и для произведения любого числа матричных элементов
Gnm(E) функции Грина:
K.Gmmi {El) ••• Gnkmk{Efy)y = ^Gnimi(E1)y ... <\Gnkmk(E^)y, (26.9)
Здесь все Е±, ..., Ek лежат в одной полуплоскости. Это условие
существенно для справедливости (26.9). Действительно, если оно не
выполняется, например, если Е^ - Е[, то при усреднении произведения
Gn^iEdGn^AEl) (26.10)
нам, в соответствии с (26.2), придется находить величину <|Vп-?|"а>. Но,
как следует из (26.1), в отличие от (26.3) и
*) Отметим, что эта асимптотика может быть получена и без знания точного
ответа, поскольку, как нетрудно убедиться, во всех дискретных моделях, в
которых плотность вероятностей Р (U) не обращается в нуль вне некоторого
конечного интервала, имеет место следующее асимптотическое соотношение:
р(?)"Р.(?), |?| + со.
т
(26.8),
<1 ип~Ъ Г2> = I <(^"-?)-1> 14
Y
ImUC-Sol2 *
и поэтому теперь уже нельзя утверждать, что усреднение (26.10) по Uп
сводится к замене этой случайной величины в гамильтониане на ?0. Можно
лишь утверждать, что, например,
и равенство здесь возможно только при у -0. Но последнее неравенство не
является специфическим для распределения (26.1) и может быть получено в
общем случае просто как следствие неравенства Буняковского-Шварца
справедливого для любой комплексной случайной величины причем равенство в
(26.11) имеет место только тогда, когда | не является случайной величиной
(т. е. ее плотность вероятностей является сосредоточенной в одной точке
6-функцией, как в (26.1) при у = 0).
26.2. Непрерывные модели. Формулу, аналогичную (26.5) и
(26.6), можно получить и в некоторых непрерывных моделях случайного
сплава, а именно в тех, в которых потенциал отдельной примеси можно
считать точечным. Проще всего это сделать в одномерном случае [188] для
потенциала вида (7.5), в котором kn, как и выше, распределены согласно
закону Коши (26.1). Нетрудно убедиться, что результаты всех проделанных
выше выкладок по-прежнему справедливы (только вместо <я|0(и)|п>
необходимо писать Gin) (хп, хп)), и поэтому усреднение по всем kn, как и
в предыдущем случае, сводится к замене их на одно и то же комплексное
число ?0. Однако, в отличие от (26.5), эффективный потенциал здесь
оказывается не с-числом, а периодической функцией вида
Поэтому для нахождения плотности состояний и средней функции Грина здесь
необходимо решать уравнение Шредингера с периодическим, но комплексным
потенциалом. Однако последнее усложнение оказывается несущественным, и, в
тесной аналогии с известной моделью Кронига - Пенни, дисперсионное
уравнение в данном случае имеет вид
где к-комплексное число, играющее роль квазиимпульса, k2 - Et а плотность
состояний равна
<1 Gnm (Е) |г"I <G"m (Е)У р,
(26.11)
Co2j Ь(х-па).
п
т
Можно убедиться, что, как и в (26.6), плотность состояний поло жительна
при всех Е, но, в отличие от (26.6), на верхних краях \ зон Еп={пп!аУ она
имеет особенности вида (пя/а-k^.nn/a. Подобные особенности существуют и в
упорядоченном случае (у - 0) и отвечают энергиям, при которых между
соседними рас- ' сеивателями укладывается целое число полуволн. Поэтому
узлы ; волновой функции, определяющие в одномерном случае плотность
состояний (см. § 6), совпадают с точками па, в силу чего она ; при таких
энергиях не зависит от величины амплитуды kn. Эти -рассуждения
показывают, что подобные особенности в плотности j состояний могут быть и
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 115 116 117 118 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed