Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
примесного состояния ф(0> (г) и среднее расстояние I между примесями (c-
(a!l)s). Техника исследования структуры примесной зоны, развиваемая в
настоящем параграфе, существенным образом использует предположение о
малости концентрации с рассеивающих центров, которое можно выразить
следующими неравенствами:
а, (27.1)
В предыдущей главе при анализе изменений непрерывного затравочного
спектра малость концентрации удавалось учесть в рамках формализма
разложений по степеням этого параметра и теории возмущений. Здесь же из-
за того, что при малой концентрации все состояния в примесной зоне
являются локализованными, необходим иной способ исследования. Этот способ
основан на исполь-зрвании системы уравнений (1.13) для "проекций" фу
волновой функции ф на однопримесные состояния ф(0)(г-Гу). Как явствует
280
из способа ее получения (§1), подобная система может возникать как в
дискретных моделях беспорядка замещения (1.4), (1.6) или неупорядоченной
решетки (1.25), так и в непрерывной модели структурного беспорядка (1.2),
(1.8). Удобство использования этой системы уравнений в задачах, связанных
с примесной зоной, заключается в том, что при таком подходе она
рассматривается в значительной степени независимо от затравочного
спектра. Последний входит в задачу только через вид функций F(E, г) из
(1.12), (1.14). Но, как мы увидим, структура примесной зоны определяется
лишь немногими свойствами этой функции, которые, в свою очередь, можно
вывести из довольно общих соображений. Поэтому подход, основанный на
системе (1.13) или, в более общем случае, на гамильтониане (1.21)-(1.22),
оказывается в достаточной мере эффективным и универсальным [192]*).
Как уже было отмечено в §1, при выполнении условия (27.1) функция F(E, г)
для г^>1 может быть заменена ее асимптотикой Лг-1ехр(-&0г), и поэтому
уравнение (1.13) в пренебрежении "дрожанием" диагональных элементов
приобретает вид
В этом параграфе при вычислении плотности состояний р (?) мы будем в
основном исходить непосредственно из определяющей ее формулы (1.29),
существенно используя то обстоятельство, что в силу самоусредняемости
р(?) правая часть (1.29) может быть заменена ее средним значением. Это
позволяет трактовать р (?) dE как вероятность, вообще говоря,
ненормированную, того, что наугад взятый уровень попадает в интервал (Е,
E-\-dE). Такая трактовка плотности состояний является содержательной,
когда в фазовом пространстве реализаций существует и [может быть
достаточно конструктивно описана та область значений случайных
параметров, которая определяет спектр в рассматриваемом / интервале
энергий. Тогда указанная вероятность может быть эффективно вычислена. При
этом удается выяснить и характер соответствующих состояний, так что
подобный путь нахождения р (Е) позволяет получать весьма содержательную и
разнообразную информацию о рассматриваемой неупорядоченной системе. В гл.
IV при исследовании флуктуационной области спектра мы фактически уже
использовали этот путь. Как мы увидим в этом параграфе,
*) В рамках подобного подхода можно исследовать также структуру
дислокационной примесной зоны электронного спектра [193].
k ф /
(27.2)
где
%jk I
(27.3)
281
он весьма удобен при анализе плотности состояний и их структуры в большей
части примесной зоны.
Оказывается, что все описание наиболее естественно выглядит в
логарифмической шкале энергий
s = -f-4nh|. (27.4)
В области s^t1/*, отграниченной от локального уровня, плотность
состояний, выраженная через переменную s, описывается универсальной, не
зависящей от t^> 1 функцией (s):
р (е) с1г ~ 5111 (s) ds,
а систематика соответствующих состояний ("нормальная" систематика) также
не зависит от t. Что же касается непосредственной окрестности локального
уровня е=^0, то здесь ситуа-
ция усложняется и плотность состояний оказывается существенно зависящей
от t. При этом основной вклад в р (е) вносят состояния, описываемые иной
систематикой, которую мы будем называть аномальной. Учет конечности
параметра t приводит к появлению еще одной группы состояний, описываемых
"дополнительной" систематикой. Эти состояния в отличие от предыдущих
(локализованных на одной или двух примесях) размазаны на большее число
центров. Их интегральный вклад в плотность состояний мал ~ t~x (как и
интегральный вклад аномальных состояний), однако именно они являются
"зародышами" делокализованных состояний, появляющихся при достаточно
большой концентрации рассеивающих центров.
27.2. Разложение плотцости состояний по степеням концентрации. За
формированием примесной зоны проще всего проследить, используя развитый в
предыдущей главе метод разложения по степеням концентрации. Для этого в
соответствии с (22.1) представим вклад в некоторую термодинамическую
величину от примесной зоны в виде [192]
F (с) = J р (е, с) Ф (е) ds =
= сФ (0) + ? ш, (г) (Ф (8, (г))+Ф (е, (г)) -2Ф (0))+
Г
+ 1г2аув(Г1. Г3)(Ф(М1Ч, Га)) + Ф(МЧ> Г2)) +
+ Ф (е, (гх, г2))-Ф (ех (гх))-Ф (е2 (гх))-Ф (ех (г,)) -
