Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
жидкости, где флуктуации настолько развиты, что на каждом из бесконечной
иерархии масштабов картина явления оказывается практически неизменной.
За начальным этапом возникновения делок а лизованных состояний можно
проследить, обратившись к уравнению (27.14), описывающему распределение
уровней во вспомогательной iV-центровой задаче. Мы видим, что возможен
случай, когда среди д-угольни-ков, соединяющих рассеивающие центры
указанным выше образом, наряду с контуром отвечающим минимальному
периметру Ln, окажется еще k контуров Т!п с периметрами (Г?),
отличающимися от Ln на величину порядка t~l. Тогда при соответствующем
значении s сразу несколько членов разложения определителя (27.13) будут
иметь одинаковый порядок, что свидетельствует о появлении у уравнения
(27.14) кратных (с логарифмической точностью) корней. Если при этом
перестраивающиеся части Г? контуров Г? пересекаются, соответствующие
состояния в отличие от ситуации, рассмотренной в конце п. 27.3,
коллективизируют все дополнительные центры, входящие в различные и не
входящие в Г^_1 (Г^_2). Систематику, описывающую такие состояния, мы
назовем дополнительной.
По существу, здесь мы имеем дело с зарождением периодического
расположения центров. Действительно, именно в периодическом случае
возникают особые резонансные ситуации, связанные с совпадением расстояний
xik, лд,... между различными парами центров, что и приводит к
равномерному распределению уровней в зоне и полной коллективизации
состояний.
Соображения, приведенные в конце предыдущего пункта, показывают, что доля
таких "вырожденных" конфигураций среди всех, которым отвечает данная
диаграмма, имеет порядок t~k, обусловленный узостью "перемычек" ~ t~x.
Поэтому учет такого вырождения приводит к появлению в выражении для
вклада в плотность состояний, отвечающего некоторой диаграмме,
дополнительного множителя, представляющего собой ряд по обратным степеням
t:
5>Д (s) = s>.(s)(ii^. + il?L+...). (27.31)
Таким образом, учет поправок, связанных с существованием состояний,
описываемых дополнительной систематикой, приводит при t^> 1 лишь к малому
~/-1 изменению плотности состояний во всей зоне (в том числе и в области
провала).
301
Перейдем теперь к рассмотрению пространственных корреляторов. В случае
корреляционной функции плотность-плотность при совпадающих энергиях р"
(х, s) вклад от некоторой диаграммы имеет вид (сг = sign rj)
р?> (х, s) = ) ехр [- (c)si(xlf ..., хJ] (xlt ..., xJ x
x 6 (s-2 afi XU) (у) Ф1 (y+x) d\x... dxmt (27.32)
где Qw, o)"(xi, ..xffl) и afj-те же, что и в (27.20). Рассмотрим сначала
вклад в коррелятор от состояний, описываемых нормальной систематикой. Для
диаграмм типа I волновая функция, как мы видели, сосредоточена в
окрестности одного из центров, т. е. имеет вид
ФЛх) = Ф(0) (х-х,),.
где Xi - координата этого центра. Подставляя такое выражение в (27.32) и
учитывая, что квадрат однопримесной волновой функции при малой
концентрации можно заменить б-функцией, получаем
р?(х, s) = S"?(s)6(x). (27.33)
В случае диаграмм типа II волновая функция отвечает спариванию двух
центров: (х) = 2-1^ (ф(0> (х - хх) ± ф(0) (х-х2)), что
приводит к результату
pfj(x,s) <s) б(х) + (16я s2)-1 б (s-х)? (s) + Ф (х, s).
(27.34)
Последнее слагаемое в этой формуле является плавной функцией х и отлично
от нуля лишь при X > S.
Выражения (27.33), (27.34) дают главные, не зависящие от концентрации при
малых с вклады в рм (х, s). Аналогичным образом можно рассмотреть и
многоточечные корреляторы. В общем случае "-точечный коррелятор
представляет собой сумму сингулярных слагаемых, содержащих от одной до
(л-1) б-функций, и плавно меняющееся слагаемое. При этом слагаемые с (л-
1) и (л-2) б-функциями порождаются нормальной систематикой и не зависят
от концентрации, а остальные связаны с состояниями, описываемыми
дополнительной систематикой, и пропорциональны t~k> где (л-2-k)-число б-
функций. В частности, плавно меняющееся слагаемое пропорционально
При малой концентрации (^^>1) плавные слагаемые в многоточечных
корреляторах также малы, поскольку вклад в них дают маловероятные цепочки
резонансно-перколяционных путей, все звенья которых с точностью до t~x
одинаковы. Такая цепочка реализуется с конечной вероятностью лишь при t <
?кр, где - концентрационная граница подвижности (делокализациисостояний).
302
В использованной выше картине параметр t определяет одновременно все
важные характеристики. С одной стороны, интеграл перекрытия на средних
расстояниях J ~ е~г, ответственный за переходы между центрами, дает
оценку области энергии, в которой в принципе возможна делокализация
состояний (за счет возникновения бесконечной паутинообразной резонансно-
перколяцион-ной сетки, построенной на примесных атомах). С другой
стороны, t_1 при ^^>1 определяет допустимый разброс шага такой сетки и,
следовательно, ее относительный фазовый объем в пределе V -оо стремится к
нулю. При уменьшении t (т. е. с увеличением концентрации c=t~d) число
