Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
центров в объеме kod, равное возрастает и при (dat~d^>\ (d^ 3) возникает
зона делокализован-ных состояний, что и дает для величины границы
подвижности в этой модели оценку /кр ~ 1.
В заключение рассмотрим в некотором смысле противоположный предельный
случай, когда плотность состояний определяется не квантовым расщеплением
отдельного примесного уровня, а классической картиной плавного "дрожания"
потенциалов за счет перекрытия медленно убывающих "хвостов" потенциалов
отдельных центров и (г-iy), например, в случае и(г)~г~п. Тогда плотность
вероятностей P(U) случайного сдвига
представляющего собой сумму независимых случайных величин, проще всего
вычислить, построив производящую функцию (см. (2.5))
При U -"- 0 основной вклад в интеграл дают большие значения z, при
которых [z|~?/-1 и, следовательно,
l~3 J (1 - е~гиМ) dr " az*tn.
Вводя более удобную переменную
г/= 2 "(г/),
g(z) = J P(U)e~zU dU - ехр [-/_3 J (1-e-2"(r>)dr]
о
и воспользовавшись затем формулой обращения
too +0
- ? оо +0
y = aU~s/n,
для плотности
вероятностей P(U) получаем
P{V) = P(y) 1
где
?оо + О
- t ОО + О
303
В частном случае ван-дер-ваальсовского убывания потенциала w(r) {п - 6)
отсюда следует, что
а2
/>(г/) = я-1/*ехр(- у2/А) или =
§ 28. Примесные уровни вблизи границы затравочного спектра
28.1. Общие соображения и оценки. В предыдущем параграфе предполагалось,
что примесная зона удалена от основной. Чтобы придать этому утверждению
четкий смысл, следует более подробно рассмотреть ситуацию, связанную с
появлением локального уровня, в окрестности которого формируется
примесная зона. Соответствующая этому уровню энергия Ел удовлетворяет
уравнению (см. § 1)
1 - U0F (?л, 0) = 0.
Если интенсивность потенциала ?/0 достаточно велика, так что
Uo>v*v =*(m or1,
то у этого уравнения появляется отрицательный корень ?л, определяющий
положение локального уровня.
Значения энергии, соответствующие парным уровням, находятся из условия
разрешимости уравнений (1.11) для двух центров, имеющего вид
1 -U0F(Et 0) - ±U0F (Et г),
где 0, г-координаты примесных центров, образующих пару. При (/" > (УКр и
r^>kо1 это уравнение имеет два вещественных корня Ех (г)<?л<?2(г), причем
меньший корень ^(г) соответствует знаку + в правой части. По мере
уменьшения расстояния между центрами больший корень ?2(г) возрастает,
приближаясь к точке Е = 0 (границе затравочного непрерывного спектра), и
при г = гкр, определяемом из условия
1-V,F(0, 0) = - UtF (0, rKP), (28.1)
совпадает с ней. В силу очевидных неравенств
0) < о,
-?/о/^кр = -^(0, 0) < - U0F (0, r)<-U0F(0, <х>) = 0
уравнение (28.1) всегда имеет положительный корень гкр((/0).
В зависимости от интенсивности U0 и формы / (г) примесного потенциала
критическое расстояние гкр связано с характерными длинами задачи теми или
иными неравенствами, отвечающими различным физическим ситуациям. При
гкр^/ вообще не имеет смысла говорить о примесной зоне как об отдельной
области спектра, поскольку в этом случае сдвиг локального уровня
ближайшими примесными центрами имеет величину порядка энергии
304
связи и спектр в бывшей запрещенной зоне формируется всем коллективом
примесей- В случае гщ < а парные уровни вообще не доходят до границы
затравочного непрерывного спектра, так как в твердом растворе невозможно
сблизить две примеси на расстояние, меньшее постоянной решетки. Это
позволяет при малой концентрации с<^1 говорить о примесной зоне как об
участке спектра, определяемом условием
?t (а) < Е < Es (я) (28.2)
и вполне отделенном от основной зоны, так как плотность состояний справа
от точки Е^(а) вблизи нее есть величина меньшего порядка по концентрации,
чем плотность состояний в примесной зоне (28.2). Наконец, при l^>rKV^>a
парные уровни доходят до границы затравочного спектра, вблизи которой
квантовые состояния имеют отнюдь не флуктуационное происхождение.
Оказывается, что при малой концентрации примесей существует участок
спектра, реализующийся на состояниях типа слабо затухающих плоских волн,
для которых среда может рассматриваться как непрерывная, а порядок
расположения примесей роли не играет [4]. Чтобы показать это, запишем
решение уравнения Шредингера
A-t~2j"(r-"r,)J
в виде
Ф == Ф,. + 2 G°U /Ф, (28.3)
f
где G° = (Д 4-&*)"1, а ф0-некоторое состояние свободной частицы с
энергией k%.
В силу сингулярности G0 (г) состояние ф резко меняется в окрестности
точек, где расположены примеси. Поэтому для дальнейшего удобно ввести
плавно меняющиеся вблизи точек г, функции ^ (г), определяемые следующим
образом:
X/ -Фо+ ^°иуф,
i ( фЬ
и связанные с ф, как следует из (28.3), соотношениями
лр"(I -G°U/)~1X/-
Отсюда видно, что функции удовлетворяют системе уравнений
" = Фо-ь 2 (28.4)
ИФП
где Tf=sUf(I-G°Uf)"1-оператор рассеяния на f-й примеси.
В области малых рассматриваемый здесь короткодействующий потенциал и (г)
можно считать точечным. Для таких потенциалов матричные элементы
оператора рассеяния, как показано,
И. М. Лифшиц и др.
