Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
?-?"-S 4 = 0, (28.22)
'° 4п<?
*) При этом необходимо учитывать ограничения, возникающие при
суммировании по импульсам (см. § 24, текст после формул (24.10) -
(24.13)).
314
i
Ё -Е -N^y )Г(к)1а Xio-^O IN ?0(к) .
Е'>(к) = ?(ак)2, Г = |Г (0)j.
Для дальнейшего удобно ввести параметр б:
б = 2W&zE0/W\
Существенное отличие s-d-модели (28.19) от модели сильной связи (22.8)
состоит в том, что энергия примесного уровня определяется теперь двумя
независимыми параметрами Е0 и W или, <если угодно, ?0 и б. На языке
квантовой механики одной частицы это соответствует потенциальной яме,
окруженной барьером. При этом, например, в случае локального состояния,
когда ?" < О, положение уровня Ел и размер области локализации частицы
могут задаваться независимо. Иными словами, в рассматриваемой модели речь
идет о двухпараметрической волновой функции, кото-;рая резко спадает на
малых расстояниях, а на больших расстояниях спадает слабо в соответствии
с величиной энергии связи.
Для б<0 и, следовательно, Ё0 < 0 уравнение (28.22) имеет вещественное
отрицательное решение, отвечающее локальному уровню:
?, = ?0(1-1-^г/Г=4б) . (28.23)
В случае 0 < б < 1/i решений нет вовсе, а при б > х/4, в отличие <от
модели предыдущего пункта, появляются комплексные решения, отвечающие
квазилокальному уровню, энергия которого ?к>л описывается той же формулой
(28.23), причем
Re?K.a >Во>0, 1т?к.л>0.
В частности, случаю |б|<^1, отвечающему сильной гибридизации,
соответствует волновая функция с характерным радиусом порядка а\Ея\-%1*.
В то же время при (б}^>1 состояние локализовано практически на одном
примесном узле [194]. Именно наличие двух свободных параметров,
определяющих, динамику примесных состояний, и обусловливает
содержательность данной модели.
Процедура решения самосогласованных уравнений (28.20) и нахождения
плотности состояний из (28.21) полностью аналогична проведенной в п.
28.2. Поэтому содержание остальной части этого пункта представляет собой
лишь краткое изложение результатов, полученных в [194]. При этом,
употребляя в различных случаях термины "токовое состояние", "закон
дисперсии", мы имеем в виду лишь то, что для соответствующего участка
спектра собственная энергия 2 (к) (28.20), определяющая <GKK> (28.21) при
определенных к, такова, что выполняются неравенства (28.18).
315
а) Определим характерную концентрацию с0 соотношением
с0 = (?./*)•'¦"!.
Тогда в случае локального уровня Ей < 0, б < 0 при малой концентрации
примесей с<^.са внутри зоны в области Е>ЕГ при I К J ^min" ^Де
Е - - - = 1 4псс"1/я^>
Г Ёо ( 4псСоЧг\Ь\-г!*<§, |б|^>1,
с &
Kmto~e |go4| .
состояния являются токовыми с законом дисперсии
? (к) = ?° (к) + Re • <28-24)
Вне зонных состояний при | Е-Ел | WzlS, за исключе-, нием области
концентрационного уширения локального уровня \Е-ЕЛ\^К
Д, '?д| . ехр Г-С С~\,
14-2V I Ел6/Е0\ L V с / J
основной вклад в плотность состояний дают парные уровни:
Г0/?б 11/г [1 - sign Р° (Е) ехр ( а"| /)° (?)|(1 + Я"ЁИ?))
" , ^ 2пс2г3 (?) {1 +1 EJEb |v' [1 - sign ?>° (?) ехр (- г (Е) V\ Е |)] [
Р Vе) - I лп / ^ I (л . '
(28.25)
где
_/Е.ч . аГ2ехр(-г{?) УЩ)
К} | ?>° (Е) 14л<? "•
При | б | 1 основной вклад в (28.25) дает второе слагаемое в
квадратных скобках, обусловленное величиной р2(Е) и, естественно,
совпадающее с (28.14). В противном случае, |б|5>>1,
выражение (28.25) существенно упрощается и имеет вид
р (?) ~ (Е)______=-
о" I О" (?) 1(1+ '¦(?) V\E\) '
В непосредственной окрестности примесного уровня
IF Е ! Ел\_
1 л|^ 1-4-4JX ! ЕЛ
плотность состояний (28.25) в соответствии с оценкой (27.11) принимает
вид
1па | ро (Е) |
Р(?)
о31 D° (Е) I
б) Рассмотрим теперь случай виртуального состояния (Ё0 > О, б > 0) при
малой концентрации с<^с0. Если выполняется нера-
316
венство 8<^1, то уравнение D°(E) = 0 не имеет решений и поведение
плотности состояний точно совпадает с изложенным в п. 28.2 для случая б).
Совершенно иная ситуация имеет место
в случае 6 1. Здесь в области энергий Е
состояний имеет лоренцевский максимум
су
Ек_л " Е0 плотность
р.№)
31
соответствующий квазилокальному уровню. Если с > cJJ/6, то р2 (Е)
превосходит плотность состояний невозмущенного кристалла. При такой
концентрации начинается 'существенная перестройка затравочного спектра. В
некоторой окрестности точек к0, Е° (к0) = = Ё0, шириной Дк ~к?Сох, к0 ~a-
1c0~v\ дисперсионное уравнение (28.24) имеет S-образное решение (рис.
14). Тем не менее
Рис. 14.
затухание состояний в окрестности к0 мало, и они остаются токовыми. В
переходной области (окрестность перенормированной границы Ег) и в области
флуктуационных парных уровней плотность состояний ведет себя, как описано
в п. 28.2 б).
в) Наибольший интерес представляет исследование спектра при "большой"
концентрации примесей с^>с0 (но с0<^1), |6[^>1. Рассмотрим сначала случай
Ё0<0. Здесь дисперсионное уравнение (28.24) имеет два решения (рис. 15):
^1,2(к) = ~л+|°(-' ± ]/-{E*~f {K))- + cW\ (28.26)
Первое из них, Е1(к), описывает перенормированные зонные состояния.
