Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
305
например, в [361, имеют вид
(Т')гг 6 6 (г'~г')* (28>5)
Подставляя это выражение в (28.4) и вводя обозначения af "' зэ ^ (гД ф0/
a ф0 (гД получаем систему уравнений для величин ах:
а/-Фо/ + ^ G° <rf-r,> ¦k~k at.
i (Ф h
Согласно предположению, введенные выше функции %/ (г), а следовательно, и
функции дискретного аргумента af меняются на расстояниях, значительно
превосходящих среднее расстояние I между примесями. Поэтому тем же
свойством должна обладать непрерывная функция а (г), определяемая
уравнением
я(г) = Ф0(г)+-?^^ jG°(r-rOMrV(rVr#, (28.6)
где "(г) - макроскопическая плотность примесей, получаемая из точной
2 e (г-1"
!
путем усреднения по объемам, много большим чем /3.
Если в этом уравнении перейти к новым переменным, измеря я все длины в
единицах kо1, то перед вторым слагаемым справа появляется малый множитель
(ВД3<^1. Поэтому в первом приближении по этому параметру естественно
ограничиться заменой плотности примесей п(г) усредненной п-1~г. Тогда
уравнение (28.6) становится эквивалентным уравнению Шредингера с
эффективным комплексным потенциалом, не зависящим от координат:
4дл
feo-f- ik
a =s
Последнее уравнение имеет решения вида плоских волн а ~ ~ ехр (йкг), где
|к \=*k' +k\
kr = k'-innlk", k"=----------, '!ml! (28.7)
В области И-Чт'1' такие волны слабо затухают: ka<^k\
а плотность состояний согласно (28.7) имеет вид [4 j
р (?)=}/ Е-4лл//%0. (28.8)
Это означает, что слабое разупорядочение, вызванное наличием
точечных примесей, концентрация которых мала, приводит к сдвигу границы
вправо на величину
Ег " 4яя//гв| (28.9)
306
пропорциональную концентрации примесей. Величина k0 > 0 есть обратный
радиус связанного состояния на одной примеси. Однако матричный элемент
оператора рассеяния для точечного потенциала имеет вид (28.5) и в том
случае, когда уровень является виртуальным, только при этом k0 < 0. В
последнего случае граница согласно (28.9) сдвигается влево.
Из сказанного следует, что квантовые состояния вблизи Ег меняют свой
характер, переходя от флуктуационных состояний, локализованных на паре
примесей, к длинноволновым состояниям типа слабо затухающих плоских волн.
Однако этот термин не следует понимать здесь слишком буквально. Нужно
иметь в виду, что такая структура состояний выяснилась в результате
анализа исходного уравнения (28.3) на расстояниях, хотя и больших по
сравнению с /, но малых по сравнению с размерами системы. Отсюда ясно,
что наличие затухания у состояний вовсе не свидетельствует об их
локализации в рассматриваемой области энергий, примыкающей к границе
подвижности Ее. В действительности причина появления затухания состоит в
том, что истинные состояния даже при Е > Ес, когда они делокализованы, не
имеют характера плоских волн уже на промежуточном масштабе длин, и
полученный результат можно рассматривать как дающий один из возможных
способов "локальной" систематики истинных состояний.
Если же локальный (или виртуальный) уровень расположен вблизи границы
затравочного спектра, и концентрация примесей достаточно мала, всю
область спектра от ближайшей окрестности локального уровня до окрестности
перенормированной границы удается исследовать с помощью метода разложения
диагональных элементов усредненной функции Грина по степеням концентрации
(см. [165, 194] и упомянутую там литературу). Результаты такого
исследования излагаются в двух последующих пунктах этого параграфа.
28.2. Модель сильной связи* Обратимся еще раз к модели сильной связи,
описываемой гамильтонианом (22.8), в котором произведена замена U -> - U
(притягивающие примеси). Будем считать, что вид закона дисперсии ? = ?°
(к) в идеальной системе с = 0 таков, что min Е° (к) = Е° (0) и при к-*0
Р(к) ^<§(ак)\ (28.10)
где а - постоянная гешетки, образованной узлами п (для определенности
ограничимся рассмотрением случая простой кубической решетки). Задача
состоит в нахождении усредненной функции Грина <<j"k> с помощью системы
уравнений (24.10) - (24.13) и в последующем вычислении плотности
состояний [165].
а) Прежде всего рассмотрим область Е < 0, лежащую левее границы
затравочного спектра. Для не слишком малых значений величины | Е [
перенормировка Е° (к) -* Е° (к) + Re 2 (к), учитываемая в формулах
(24.10)- (24.13), не очень существенна. Поэтому
11*
307
будем исходить из аналогичной системы уравнений, при получении которой, в
отличие от п. 24.2, не производилась перенормировка по к *)•
^ v 1 z°(*)
к) т (Е- Е° (к))*'
cuf sr* А1е1*г'+А1АЬ Л
n=^"U О -п '
?C=l+.Vf(?), Л*.------------4fS(?),
(28.11)
D° е'кп Я-(к}'
Положение локального уровня ?а, если он существует, определяется из
уравнения
D* (?ж) = о.
В дальнейшем нас будет интересовать область - Втак что новый
энергетический параметр х, определяемый соотношением х* = - Е/$, будет
мал! ха 1, Для таких значений энергии непосредственное вычисление
величины Dq и использование закона дисперсии (28Л0) приводит к формуле
где С - ^ причем интегрирование производится по кубу -л <
