Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
дгШ
(83,9)
*) Постоянная Ь выражается через термодинамические величины жидкости
согласно 6 = -=rf-=-\ (см. V § 152). п \дп /т
2) Варьируется только функция Варьирование функции в привело бы к
члену вида const -8 (г) в ср (г), не имеющему отношения к дальнодействую-
щим силам.
410
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
[ГЛ. VIII
Сама ^-функция удовлетворяет уравнению (79,8):
= - 4л&6,.й6(г-г'), (83,10)
а его варьирование дает уравнение для вариации ^-функции:
Решение уравнения (83,11) можно написать сразу, заметив, что в силу
(83,10) "невозмущенная" функция ?Dlk является гриновской функцией этого
уравнения; поэтому
(здесь использовано также, что &)и (г, г") = &>ц (г", г)). Наконец,
подставив сюда (83,8) и затем все вместе в (83,9), получим вторую
вариационную производную
(г=\г1 - г2|). Эта формула вместе с (83,7) и дает искомое общее выражение
корреляционной функции v(r)npn г^>^и/Г (М. П. Кемоклидзе, JI. П.
Питаевский, 1970).
Предположенное уже ранее условие (83,4) для волновых векторов
эквивалентно условию г^Ьи/Т для расстояний. Если одновременно с этим
условием ограничить область значений г также и сверху:
то в сумме будут существенны большие значения s, и суммиро-
Функция S)lm получается из (77,6) заменой со -г?. Произведя
дифференцирование и возведя в квадрат, получим
оо
KcjT r^hu/T,
(83,13)
вание по дискретным "частотам" ?s=2nTs/h можно заменить интегрированием
по ds = %dt,l2nT\
со
со
w=rZ,Ve(iQlc.
§ 84] ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ 411
Подстановка (83,15) в (83,14) приводит к довольно сложному выражению,
которое, однако, упрощается в двух предельных случаях.
В случае "малых" расстояний (г<^А,0, ср. § 81) в интеграле существенна
область g - с/Л-0; при этом rZ,/c<^. 1, так что в (83,15) можно заменить
экспоненциальный множитель единицей, а в скобках сохранить лишь последний
член. Тогда найдем
v(r)=4, A =J^-f (83,16)
w г* ' 16nWJ _ дп _ e2(i?) ' \ о v . ;
Фурье-образ этой функции *)
v{k) = ^Ak3, АА0>1.
(83,17)
В обратном случае "больших" расстояний (г^-А,0) в интеграле существенна
область ? ~ с/г<^с/к0 ~ ю0. Поэтому можно заменить е (/?) ее
электростатическим значением е" и вынести (де0/дп)2 из-под знака
интеграла в (83,14). После этого интегрирование производится элементарно
(причем все члены в (83,15) дают вклад одинакового порядка величины). В
результате получается
В В 2зАсГ /де0\2 64я3е3/2я&2 \дп)
/ \ а v(r) = -jf,
/>Л". (83,18)
Фурье-образ этой функции
v(&)= - TfiBfclnklo, klo<0.\.
(83,19)
§ 84. Операторное выражение для диэлектрической проницаемости
В этом параграфе мы получим полезное представление диэлектрической
проницаемости среды через коммутатор оператора плотности зарядов (Ph.
Nozieres, D. Pines, 1958). Эта формула аналогична формуле Кубо с учетом
специфики электромагнитного поля.
!) Непосредственным интегрированием в сферических координатах в к-про-
странстве можно получить
J _ ,;т Г .ikr-bft Ly d3k Г (у+ 2) sin (лу/2)
lim (Vkr
^= + о J
(2я)3 2n2rv
Нужный для проверки формулы (83,17) интеграл есть /3. Интеграл же, нужный
для проверки формулы (83,19) вычисляется как dly/dv при v = 4.
412
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
[ГЛ. VIII
Будем рассматривать однородную среду, обладающую не только временной, но
и пространственной дисперсией диэлектрической проницаемости. Это значит,
что индукция D (/, г) зависит от значений напряженности Е(/, г) не только
в предыдущие моменты времени, но и в других точках пространства. Такая
зависимость может быть представлена в общем виде как
СС
Di(t, г) = Et(t, r) + J J ftk{г, r')Ek{t-т, r-r')d3x'dx. (84,1)
О
Для монохроматического поля, в котором Е, D оо ехр [t (kr - со/)], эта
связь сводится к
А=е,-*((r)> к)Ек, (84,2)
где
сс
"и (ю. к) = б/* + S S fik (*, "¦') *г ("T"kr') d*x' dx. (84,3)
о
Мы ограничимся случаем, когда среда не только однородна, но и изотропна и
не обладает естественной оптической активностью. Тогда диэлектрическая
проницаемость остается тензором, но составленным лишь с помошью вектора
к. Общий вид такого тензора
е.к = е1(о>,к)^- + в1(с",к)(б1/1-^'). (84,4)
Скалярные функции ег и et называют соответственно продольной и поперечной
проницаемостями. Если поле Е потенциально, Е=-Vq>, то для плоской волны Е
параллельно волновому вектору (Е = - ikcp) и тогда 0 = егЕ. Если же поле
соленои-дально (div Е = ikE = 0), то Е перпендикулярно волновому вектору,
и тогда D = etE.
Напомним (ср. VIII § 83), что при таком описании свойств среды уже не
имеет смысла разделение среднего значения микроскопической плотности тока
pv (р - плотность зарядов) на две части: дР/dt и crotM, где Р-
электрическая поляризация, а М - намагниченность среды. Другими словами,
уравнения Максвелла записываются в виде
, " I ав , " 1 5D
rot Е =------зт-, rotB = -^7
с dt ' с at
без введения (наряду с магнитной индукцией В - средним значением
микроскопической напряженности магнитного поля) еще и вектора Н. Все
члены, возникающие в результате усреднения микроскопических токов,
