Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лифшиц Е.М. -> "Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния " -> 153

Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.

Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния — Москва, 2000. — 449 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayafizika2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 147 148 149 150 151 152 < 153 > 154 155 156 157 158 159 .. 172 >> Следующая

зрения, в которой тела рассматриваются как сплошные среды, а их
взаимодействие - как осу-
Рис. 17. ществляющееся посредством флуктуационного электромагнитного
поля. При этом существенны те флуктуации, длины волн которых порядка
величины характерных размеров задачи-ширины щели между телами*).
Будем обозначать индексами 1 и 2 величины, относящиеся к двум твердым
телам, а индексом 3-величины, относящиеся к пространству щели между ними
(рис. 17). Щель-будем предполагать плоскопараллельной; ось х направим
перпендикулярно ее плоскости (так что поверхностями тел 1 \\ 2 будут
плоскости х = 0 и х = 1, где / - ширина щели). Сила F, действующая на
единицу площади поверхности, скажем, тела 2, вычисляется как поток
импульса, втекающего в тело через эту поверхность. Этот поток дается
компонентой (fxx электромагнитного тензора напряжений в пространстве
щели, взятого при х = 1. В пустоте 6=1 и выражение ахх из (80,16)
сводится к2)
х
F=axx(i)=^ Е'{?>&(?"; I, /)+2>1(?"; I, /)-?&(?";/.0 +
+(r)°" (?"; /, /)+?>?(?"; /, /)-?>"(?"; I, I)} (81,1)
(индекс суммирования обозначаем в этом параграфе буквой п).
*) Результаты §§ 81, 82 принадлежат Е. М. Лифшицу (1954).
2) В промежуточных вычислениях полагаем %=\t с= 1.
§ 81] МОЛЕКУЛЯРНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕЖДУ ТВЕРДЫМИ ТЕЛАМИ 399
В силу однородности задачи в направлениях у и z функции S)ik(t:n; г, г )
зависят только от разностей у-у' и z - z' (аргументы у - у' и z-z'в
(80,1) не выписаны); (r)lft(?", q;x, х')- фурье-компоненты по этим
переменным. Тогда
Для функций S>ik(ln, q; х, х') уравнения (79,8) принимают вид (ось у
направляем вдоль вектора q)
где w - (е^ + <72)1/2, e = e(i?"), а х' играет роль параметра (компоненты
же <2)xz =?Dyz = 0, поскольку уравнения для них оказываются однородными).
Решение этой системы сводится к решению всего двух уравнений
При этом надо учесть, что в силу (79,5) S)yX (г, г') = &)ху (г',г), и
поэтому @)ух (q; х, х') = @)Ху ( - q; х', х).
Краевые условия, соответствующие непрерывности тангенциальных компонент
напряженности электрического и магнитного полей, сводятся к требованию
непрерывности величин &>yk, &>zk> t&yky &zk или, что то же, к
непрерывности величин
Используя первое из равенств (81,5), получим, что на границе раздела
должны быть непрерывны
- )^(х' х')=- - 4п6(х-х'), '
(да2 - <72-^3)уу{х, x') + iq?-x3)xy(x, х') = - 4п6 (х - х'),
w23)xy (х, х') + iq ^ 3>уу (х, х') = 0,
w2S>xx{x, х') +iq^S>yx{x, *') = - 4яб(х-х'),
(r)уу (X, х') = - ^ б (х-х')г (81,4)
после чего Я)ху и ?Z)XX определяются как
in А
(81,5)
&)yk, rnzk, roiytS>tk, votzlS)lk.
(81,6)
400
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
[ГЛ. VIII
Поскольку мы имеем в виду вычислить тензор напряжений лишь в области
щели, то можно сразу считать, что 0 < х' < I. В области 0 < х < / функции
&)уу и 3>tt определяются уравнениями (81,3-4) с е = 1, w = w3 = (|п +
<7а)1/3. В областях 1 (х < 0) и 2(х'> I) они удовлетворяют тем же
уравнениям без правых частей (поскольку здесь хфх') соответственно с е1(
и е2, w2 в качестве е,о".
Необходимое, согласно (80,17), вычитание сводится к тому, что из всех
функций S>ik в области щели следует вычесть их значения при е?=е2=1.
Вследствие этого, в частности, можно сразу опустить второй член справа во
втором из равенств (81,5), так что в области щели
Прежде чем приступить к решению уравнений, сделаем еще одно замечание.
Общее решение уравнений (81,3-4) имеет вид f-(х-x') + f+(x-\-x').
Используя уравнения (81,3-4), (81,7) и определение функций ?)%. и ^гь
можно показать, что части гриновских функций, зависящие от суммы х-\-х',
не вносят никакого вклада в выражение (81,1) для силы. Мы не
останавливаемся здесь на этом, так как этот результат заранее очевиден из
физических соображений: положив х = х' в решении вида /+ (х + х'), мы бы
получили поток импульса в щели, который зависел бы от координаты - в
противоречии с законом сохранения импульса. В дальнейшем мы будем поэтому
приводить в результате только выражения для частей гриновских функций
3)^, не зависящих от х-\-х'.
Перейдем к нахождению функции S>zz. Она удовлетворяет уравнениям:
Отсюда находим
&>zz= Aew>x, х<0, g)Z2 = Be-w'x, x>t,
9тг
&>zz = Ciew*x +С2е~т*х- - e~w* 0 <x<t.
В последнем выражении учтено, что в силу третьего из уравнений (81,8)
производная d@)zz/dx испытывает при х = х' скачок, равный 4я. Определив
А, В, С1( С2 (функции х') из граничных
§ 81] МОЛЕКУЛЯРНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕЖДУ ТВЕРДЫМИ ТЕЛАМИ 401
условий непрерывности 2>zz и d3)"/dx, получим
Вычтя значение при wt = w2 - w3 (при этом 1/А = 0), имеем окончательно
Аналогично, решая уравнение для @>vv, получим (после вычитания)
Вычислив теперь функции S>fk и S>^k, . преобразовав их затем согласно
(81,2) и подставив в (81,1), получим
Наконец, перейдя к новой переменной интегрирования р, согласно q = Z,nYp2
- 1, и возвратившись к обычным единицам, мы придем к окончательному
выражению для силы F, действующей на единицу площади каждого из двух тел,
разделенных щелью шириной /:
Предыдущая << 1 .. 147 148 149 150 151 152 < 153 > 154 155 156 157 158 159 .. 172 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed