Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
диаграмм (с 4-импульсами Q =(?*, q)) условимся сопоставлять множители г)
тее2/%2 /г1/3 Т/е2
(85,2)
а, b
(85,4)
1) Далее в этом параграфе полагаем %=\, с= 1, а е обозначает
элементарный заряд (е > 0).
416
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
[ГЛ. VIII
(не зависящие от ?s), т. е. взятую с обратным знаком фурье-компоненту
потенциала <р (г) поля единичного заряда. Сплошным линиям должен теперь
приписываться (наряду с 4-импульсом P = (ZS, р)) еще и индекс а,
указывающий сорта частиц, и каждой такой линии сопоставляется множитель-
S??p(P)-взятая с обратным знаком гриновская функция свободных частиц а.
При этом сплошные линии диаграммы образуют замкнутые петли, каждая из
которых содержит "звенья" с одинаковыми индексами а. Каждой вершине
диаграммы-точке пересечения пунктира со сплошными линиями сорта а-
сопоставляется дополнительно множитель гаг. Каждая фермионная петля
вносит дополнительный множитель (-1). Построенные по этим правилам
диаграммы дают члены разложения величины
Множитель V в знаменателе-объем системы; этот множитель возникает в
результате того, что подынтегральное выражение в каждом члене ряда
зависит только от разностей координат, и поэтому одно из интегрирований
по d3x дает просто объем V. Знак минус в (85,5) - результат определения
пунктиров по правилу (85,4), т. е. со знаком минус перед cp(q). Множитель
же 2- результат переноса множителя 1/2 в (85,3) в левую сторону
равенства.
В первом порядке теории возмущений имеются диаграммы двух видов:
со всеми возможными а и Ь. Диаграммы вида (85,6а) возникают от сверток
а|э-операторов, взятых в одинаковых точках пространства. Эти диаграммы
отвечают прямому кулонову взаимодействию частиц о и Ь, равномерно
распределенных в пространстве: вклады этих диаграмм взаимно сокращаются
(при суммировании по всем парам а, Ь) ввиду электрической нейтральности
плазмы. Диаграммы же вида (85,66) возникают от сверток ^-операторов
разных аргументов и отвечают обменному взаимодействию частиц данного
сорта а. Вычисление этой диаграммы приводит к результатам, полученным уже
в V § 80.
(85,5)
(85,6)
§ 85]
ВЫРОЖДЕННАЯ пллзма
417
В следующем порядке возникают диаграммы следующих видов:
Диаграммы (85,7а-б) представляют собой поправки к диаграмме (85,6а) и по
той же причине взаимно сокращаются при суммировании по всем а, Ъ, с.
Диаграммы (85,7в-г) представляют собой малые поправки к энергии обменного
взаимодействия и не представляют здесь интереса.
Диаграмма же (85,7д) оказывается "аномально большой" ввиду расходимости
соответствующего интеграла. Эта расходимость возникает в результате того,
что импульсы q обоих пунктиров в диаграмме одинаковы (как это очевидным
образом следует из сохранения импульса в вершинах). Поэтому диаграмма
содержит интеграл ^ dsq/qi, расходящийся при малых q как 1 jq.
В следующий приближениях появляются (наряду с диаграммами поправочных
типов) также и новые "кольцевые" диаграммы с еще более сильной
расходимостью. Так, диаграмма третьего порядка
G тремя пунктирными линиями с одинаковыми импульсами q
кольцевая диаграмма п-го порядка, образованная п сплошными петлями,
соединенными п пунктирами, расходится, как
Суммирование бесконечной последовательности кольцевых диаграмм приводит,
как мы увидим, к эффективному обрезанию расходимостей на значениях q
порядка малости е; поэтому все эти диаграммы совместно дают, вклад в <V>
порядка малости (e2)n/e2n~s=es. Графически этот вклад изобразится суммой
а) %
а
содержит интеграл
расходящийся, как q~$. Вообще
418
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
[ГЛ. VIII
(по сортам частиц) скелетных диаграмм
а
(85,8)
ь
где жирная пунктирная линия представляет сумму бесконечного множества
линейных диаграмм
с различными числами сплошных петель.
В то время как тонкая пунктирная линия изображает потенциал ф кулонового
поля изолированного заряда, толстая пунктирная линия представляет
потенциал поля, искаженного поляризацией окружающей плазмы; обозначим его
посредством Ф. Весь вклад (85,8) и дает, следовательно, искомую
корреляционную часть средней энергии взаимодействия в плазме.
Введем обозначение -5s (?Jf q)/4n для суммы простых сплошных петель всех
родов частиц и будем обозначать эту величину графически светлым кружком:
Отметим, что аргумет t,s этой функции пробегает "четные" значения t,s -
2snT независимо от статистики, которой подчиняются частицы а.
Действительно, в силу закона сохранения частот в вершине этот аргумент
равен разности частот обеих сплошных линий; эта разность "четна" как при
"четных", так и при "нечетных" членах разности.
С обозначением (85,10) сумма (85,8) изобразится одной скелетной
диаграммой:
Сама же жирная пунктирная линия удовлетворяет диаграммному уравнению
а, ь
1-о-о-
(85,9)
ар,... а д
а
(85,10)
л Я а
2(9)
* \V/K0p = J |
v t/
(85,11)
(85,12)
(вполне аналогичному уравнениям (14,4) и (79,13)). В анали-
§ 85]
ВЫРОЖДЕННАЯ ПЛАЗМА
419
тическом виде это уравнение гласит
- Ф(?" q) = - ф (q)-Ф(Ч)^%-^Ф(?" q),
