Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
предполагаются включенными в определение D = E + 4nP, pv = <3P/dt.
§ 84] ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ 413
Больший интерес в применениях представляет продольная проницаемость, для
которой мы и выведем операторное выражение. Оно получается путем
рассмотрения отклика системы на стороннее (т. е. созданное сторонними по
отношению к системе
источниками) потенциальное электрическое поле Ест =___________уф
Оператор взаимодействия системы с этим полем записывается как
V = J р(/, г) фст (*, г) d3x, (84,5)
где р(^,г)-оператор плотности заряда в системе. Сопоставив это выражение
с общей формулой (75,8) и рассматривая фст как "обобщенную силу" f, сразу
находим, согласно формулам (75,9-11), для фурье-компонент по времени от
средней плотности зарядов
ее
Рсо (г)=-^ | I*еш <р (t, г) р (0, г')-р (0, г') р (t, г)> ф?т) (г') d*x'
dt. о *
Перейдя здесь также и к фурье-компонентам по пространству и учтя, что в
силу однородности системы среднее значение коммутатора зависит только от
разности г-г', получим
Р(ок = а(ю, к) фи"', (84,6)
где
се
а (со, к) = - -jr |'j'ef((B<-kr)<p(/, r)p(0, 0)-р (0, 0) р (/, r)>d3xdt.
(84,7)
Средняя плотность зарядов связана с вектором поляризации среды
соотношением р =- divP (см. VIII § 6). Для фурье-компонент отсюда следует
Ршк ~ tkPик= i кЕИк-
С другой стороны, Афст = -4ярст, где рст - плотность зарядов, создающих
стороннее поле; индукция же D связана с этой плотностью уравнением divD =
4npCT. Из этих двух уравнений находим
гп (ст) -J?L0(ct) - t g; If F ь
тик ~ k2 ^Mk ~ № Kt"k-
Наконец, подставив эти выражения в (84,6), получим искомое выражение
продольной проницаемости
414
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
[ГЛ. VIII
Под р(?, г) в (84,7) следует понимать, строго говоря, оператор плотности
зарядов всех частиц в системе-электронов и ядер. Обычно, однако, во всем
существенном интервале значений со и к вклад в проницаемость вносят
главным образом электроны; поэтому под р можно понимать е(п - п), где п -
оператор электронной плотности, а п-ее среднее значение.
Формулу (84,7-8) можно преобразовать еще дальше, выразив ее через
матричные элементы фурье-компонент оператора р. Для этого предварительно
переписываем (84,7) в виде
со
а (со, k) = - jV"4pk(0P-k(0)-p_k(0)pk(i!)>di!, (84,9)
о
(V-объем системы). Матричные элементы гейзенберговского оператора pk (t)
выражаются через матричные элементы шредин-геровского оператора согласно
(Рк(0)-я=*'"""* (Рк)яя.
Раскрыв произведение операторов по правилу матричного умножения и
произведя интегрирование согласно (31,21), получим окончательно
е*(со, Ю = 1 511 I* \со-со"о + Ю - со + со"0 + ю} • (84Л0)
П
где индекс 0 относится к заданному состоянию, для которого ищется
проницаемость.
§ 85. Вырожденная плазма
Рассмотрим полностью ионизованную плазму, в которой ионы образуют
классический (больцмановский) газ, а электронная компонента уже
вырождена. Для этого температура должна удовлетворять условиям
т. е.
fi2ni/3/mi^.T^.fi2n2^/me (85,1)
(цг, -химические потенциалы электронов и ионов в плазме; те, т{-их массы;
п-плотность числа частиц; при оценках не делаем различия между пе и nt).
В то же время будем считать, что плазма лишь слабо неидеальна. Для этого
энергия кулоновского взаимодействия двух частиц на расстоянии
§ 85J
ВЫРОЖДЕННАЯ ПЛАЗМА
415
I ~ п~1/3 друг от друга должна быть мала по сравнению с их средней
кинетической энергией е. Для ионов е~7\ а для электронов е ~ \ie ~
n2l3%2lme. Отсюда получаются условия
В V § 80 было показано, что в этих условиях основным источником поправок
в термодинамических величинах плазмы (по сравнению с их значениями для
идеального газа) является обменное взаимодействие электронов; энергия
этого взаимодействия (отнесенная к единице объема плазмы) оказывается
величиной ~ е2п4/з. Корреляционная же поправка (являющаяся основной в
классической плазме) в вырожденной плазме мала по сравнению с обменной в
отношении ц1/2, где т] = т<,е21%2п1/3 1.
Тем не менее ее вычисление для вырожденной плазмы представляет
методический интерес и дает поучительную иллюстрацию применения
диаграммной техники.
Оператор кулоновского взаимодействия частиц плазмы записывается в виде
где индексы а, b нумеруют различные сорта частиц-электроны и разные сорта
ионов; гае-заряд частиц (для электронов ге =-1). Взяв ^-операторы в
мацубаровском представлении, мы тем самым получим и оператор
взаимодействия в этом представлении. Диаграммная техника для вычисления
среднего (по распределению Гиббса) значения <V> строится затем обычным
образом путем перехода к представлению взаимодействия' для мацубаровских
операторов; возникающий в результате ряд теории возмущений представляет
собой разложение <У> по степеням е2.
Выражение (85,3) не содержит "свободных" (по которым не производилось бы
интегрирование) переменных. В диаграммной технике это обстоятельство
выражается тем, что члены ряда теории возмущений для <V> изображаются
диаграммами, не имеющими свободных концов. Пунктирным линиям этих
