Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
где
Д = 1 -егт>1 (и'1 + и,а)(Ц>а + Ц'3) (wt-w3) (w2~wsy
S>"='^chw*
и, используя (81,7)
(r)xy - yx
n = 0 0
где
sx=J/"e1 - 1 +рг, s2=V ea- 1 +рг, %п - 2ппТ[%,
402
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
[ГЛ. VIII
е?, в2-функции мнимой частоты со = 1'?"; напомним в этой связи, что
e(f?)-положительная вещественная величина, монотонно убывающая от своего
электростатического значения е0 при ? = 0 до 1 при ? = оо *).
Положительные значения F соответствуют притяжению тел. -Подынтегральное
выражение в каждом из членов суммы в (81,9) положительно и при каждых
заданных р и монотонно убывает с ростом /а). Отсюда следует, что F > 0,
dF/dl < 0, т. е. тела (разделенные пустой щелью) притягиваются с силой,
монотонно убывающей с увеличением расстояния.
Общая формула (81,9) очень сложна. Она, однако, может быть существенно
упрощена в связи с тем, что влияние температуры на силу взаимодействия
обычно совершенно несущественно3). Дело в том, что благодаря наличию
экспонент в подынтегральных выражениях в (81,9) главную роль в сумме
играют лишь те члены, Для которых ?" ~ с// или п~ ch/IT. В случае lTjc%<^
1 существенными будут, таким образом, большие значения п и в (81,9) можно
перейти от суммирования к интегрированию по dn = 1idZsl2nT. При .этом
температура исчезает из формулы, и мы приходим к следующему результату:
+
+[?!;::;(gт.щ
Согласно сказанному, эта формула применима для расстояний 1<^с%!Т; уже
при комнатных температурах это дает расстояния примерно до 10см. Формула
(81,10) допускает дальнейшее существенное упрощение в двух предельных
случаях.
§ 82. Молекулярные силы взаимодействия между твердыми телами. Предельные
случаи
Остановимся сначала на предельном случае "малых" расстояний, под которыми
подразумеваются расстояния, малые по сравнению с длинами волн к0,
характерными для спектров поглоще-
х) Формула (81,9) выведена в предположении изотропии обоих тел. Поэтому
ее применимость к кристаллам связана с возможностью пренебрежения
анизотропией их диэлектрической проницаемости. Хотя это в большинстве
случаев вполне допустимо, следует иметь в виду, что анизотропия тел
приводит, вообще говоря, еще и к специфическому эффекту-появлению момента
сил, стремящегося повернуть тела друг относительно друга.
2) В этом легко убедиться, заметив, что для s = (e-1 -j-p2)1^2 (где
рЗ=1) имеют место неравенства ер > s > р при е > 1.
3) Говоря о влиянии температуры, мы отвлекаемся от того, которое
связано просто с зависимостью от температуры самой диэлектрической
проницаемости.
§ 82] МОЛЕКУЛЯРНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕЖДУ ТВЕРДЫМИ ТЕЛАМИ 403
ния данных тел. Температуры, о которых может идти речь для
конденсированных тел, во всяком случае малы по сравнению с играющими
здесь роль А(о0 (например, в видимой части спектра), поэтому неравенство
Tl/%c<^. 1 заведомо выполняется.
Благодаря наличию экспоненциального множителя в знаменателях
подынтегрального выражения при интегрировании по dp существенна область,
в которой pt,l/c~l. При этом р^> 1, и поэтому при определении главного
члена в интеграле можно положить s1"s2":p. В этом приближении первое
слагаемое в фигурных скобках в (81,10) обратится в нуль. Второй же член
после введения переменной интегрирования х = 2р?1/с даст
f да."
о о
(нижний предел интегрирования по dx заменен в этом же приближении
нулем)1).
Сила в этом случае оказывается обратно пропорциональной кубу расстояния,
что, впрочем, и следовало ожидать в соответствии с обычным законом ван-
дер-ваальсовых сил между двумя атомами (см. ниже примечание на стр. 404).
Функции
- 1 монотонно убывают с увеличением ?, стремясь к нулю. Поэтому
значения ?, начиная с некоторого ? ~ ?0, перестают вносить существенный
вклад в интеграл; условие малости I означает, что должно быть /<^с/?0.
Покажем, каким образом можно перейти от макроскопической формулы (82,1) к
взаимодействию отдельных атомов в пустоте. Для этого предположим
формальным образом оба тела достаточно разреженными. С макроскопической
точки зрения это значит, что их диэлектрические проницаемости близки к
единице, т. е. разности - 1 и е2-1 малы. Из (82,1) имеем тогда
I) Интеграл вида
а Г* х1 dx
2 j аех-1 о
при изменении а от оо до 1 меняется незначительно: от 1 до 1,2. С
практически достаточной точностью можно поэтому представить формулу
(82,1) в виде,
" . Ъа - ? [ei @ - 1] [в, (/?)-!] ."¦
" J [ех (;?) + !] [еа (*?)+!] о
Величина ш играет роль некоторой характерной для спектров поглощения
обоих тел частоты.
404
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
[ГЛ. VIII
С ДОЛЖНОЙ ТОЧНОСТЬЮ
, оо со
F = 6iv J - i) (е2- \)dxdl =
о о
= -^^5- J [ех (*¦?) -11 Ее" ("•?) -1 ] .
о
Выразив е (i?) через Im е (со) на вещественной оси со, согласно
(80,18), получим
'82'2"
о
Эта сила соответствует взаимодействию атомов с энергией
"и-^
где г - расстояние между атомами; nlt п2 - плотности чисел атомов в обоих
телах1). Эта формула совпадает с известной квантовомеханической формулой
Лондона, получающейся с помощью обычной теории возмущений, примененной к
