Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
1) Индекс 0, которым следовало бы снабдить дополнительно операторы в
этом представлении, опускаем во избежание загромождения обозначений.
2) Достаточно проследить за разложением числителя в выражении бF. Как
обычно, роль множителя <0>о в знаменателе сводится к устранению диаграмм,
распадающихся на две или более несвязанных друг с другом частей.
§ 80]
ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ ВАН-ДЕР-ВААЛЬСОВЫХ СИЛ
393
а заштрихованный кружок - результат усреднения всех остальных множителей.
Явный вид этой последней величины мы не будем выписывать; важно лишь, что
это есть не что иное, как 65J,-ft/4n, где ЫР1к-изменение поляризационного
оператора при изменении гамильтониана системы на бН.
В этом легко убедиться, рассмотрев тем же способом изменение ^-функции. В
том же представлении операторов эта функция дается выражением
ri> т2. га) =-^~<ТДМ(Т1,Гг2)ст>0,
<0>о
где теперь
1 /г
о = Тт exp J (- Vм - 8НМ) dx 0
- во "взаимодействие" включается не только Удл, но и Ш. Искомое
изменение bSDik дается линейным членом разложения этого выражения по
степеням бНм:
Шш = 4-^(1Х^ЬНdx-А?1 {хх, г,) Atf(т2, г2) ехр
(80,6)
При разложении оставшейся экспоненты по степеням Удл нулевой член должен
быть отброшен: ему отвечает несвязанная диаграмма (свертка (А^А^>
отделяется от других множителей, не содержащих переменных г*, г2). Член
первого порядка содержит нечетное число А-операторов и обращается в нуль
при усреднении. Наконец, член второго порядка дает в bSDik выражение,
изображающееся диаграммой
(80,7)
с тем же кружком, что и в (80,5) (множитель 1/2 в этом случае устраняется
за счет двух способов свертки "внутренних" Л-операторов, происходящих из
операторов Уял, с "внешними" А^ и Аь1). С другой стороны, по определению
поляризационного оператора, гриновская функция в рассматриваемом
приближении изображается суммой
v-+--о-
где светлый кружок -поляризационный оператор 5(r)г-А/4п. Вариация же этой
функции дает, следовательно, диаграмму (80,7) с 8!Pik/4n в качестве
заштрихованного кружка.
394 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ [ГЛ. VIII
Все дальнейшие члены разложения в (80,3) представляют собой поправки
различных порядков к пунктирной линии и к кружку на диаграмме (80,5). Эти
поправки превращают пунктирную линию в точную функцию ?Dik.
Длинноволновые же поправки к 83* {к, как уже говорилось, малы, так что
под 65s,к сразу можно понимать вариацию точного поляризационного
оператора.
В аналитическом виде этот результат записывается (после перехода к фурье-
разложению по переменной т) как1)
00
8F = 8Fe-± Ц T[g>ik(ts;ri,ra)±;8Pkl(Zs;rt,r1)d"x1<Pxt. (80,8)
S= - СО ^
Согласно (79,17), изменение поляризационного оператора выражается (для
изотропной среды) через изменение диэлектрической проницаемости:
ri. Г2) = ЙМ(Г1-гг)бе(г'1^|. fi):
наличие здесь 8-функции устраняет одно из интегрирований в (80,8).
Учитывая также четность функции S)ik по перепишем
(80,8) в виде
00
8F = 8F0-^ ?'j г, r)8e(i|?,|, г)d"x, (80,9)
где суммирование производится только по положительным значениям s; штрих
у знака суммы означает, что нулевой член должен быть взят с множителем
1/2 (этот член имеет конечное значение: множитель устраняет расходимость
в при ^ = 0).
Для записи дальнейших формул будет удобно ввести помимо функции S>ik еще
две другие функции:
?>,!(?,; г, г')=-Й(r)й(?,; г, г'),
(r)й(?,; г, r') = rotrtrot*m(r)le(?,; г, г'),
построенные по аналогии с выражениями (76,3-4). Тогда 8F запишется
окончательно в виде
со
6F = 8F0 + -?rZ'г, r)8e(ij^l, r)d"x. (80,11)
е -П V
1) Мы не даем общего правила определения знака диаграмм типа (80,5)
(диаграммы без свободных концов). В данном случае его легко установить,
записав в явном виде соответствующие члены разложений в (80,3) и (80,6).
Достаточно, впрочем, заметить, что этот член в (80,3) содержит одну
свертку
пары Л-операторов, а в (80,6)-две пары; поскольку свертка одной пары дает
-SL)/*> то диаграммы (80,5) и (80,7) имеют противоположные знаки, что и
приводит к знаку минус в (80,8).
§ 80] ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ ВЭН-ДЕР-ВААЛЬСОВЫХ сил 395
Используем теперь формулу (80,11) для определения сил, действующих в
неоднородной среде. Изотропия среды уже была предположена; будем считать
теперь ее также и жидкой, так что изменение состояния в каждой ее точке
(при заданной температуре) может быть связано лишь с изменением плотности
р.
Представим себе, что среда подвергнута изотермической малой деформации с
вектором смещения и (г). Соответствующее изменение ее свободной энергии
есть
6F = - Jfud3*, (80,12)
где f - объемная плотность действующих на среду сил. С другой стороны,
это же изменение можно определить из (80.11), выразив через тот же вектор
смещения вариации бF0 и бе. Пусть Л)(р> Т) - давление без учета ван-дер-
ваальсовых поправок при заданных значениях р и Т: соответствующая
плотность объемных сил есть f0 = - уР0, так что
$F0 = ^ иуР0й"х.
Далее, изменение плотности связано с вектором смещения уравнением
непрерывности бр = -div (ри). Поэтому изменение диэлектрической
