Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
Ime (со) совпадает со знаком со, найдем, что в этом пределе функция
(75,20) принимает вид
А^((r)> = м2п2/с2 -fe2 + '0'Sign" (77,11)
(М. И< Рязанов, 1957). Мнимая часть этой функции связана только с
правилом обхода полюсов со = +ck/n\ отделив ее с помощью формулы (8,11) и
подставив в (77,2), получим
(?m*%k=
(77)12)
Аргументы 8-функций в этом выражении имеют простой физический смысл: они
показывают, что флуктуации поля с заданным значением к распространяются в
пространстве со скоростью с/п, совпадающей со скоростью распространения
электромагнитных волн в данной среде. Фурье-обращением выражения (77,12)
можно, разумеется, снова получить (77,7).
§ 77] ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ 381
Энергия флуктуационного электромагнитного поля в прозрачной среде (с |j,
= 1) в спектральном интервале dco дается (в единице объема пространства)
выражением
8я
2(E%^ + 2(HS)*
da)
2л
(см. VIII § 61)J). Подставив сюда (77,10), получим после про стого
преобразования
Лш . Ла> '
efi-м/г______j
dco. (77,13)
jc2c3 dco v " /
Первый член в скобках связан с нулевыми колебаниями поля. Второй же член
дает энергию термодинамически равновесного электромагнитного излучения в
прозрачной среде, т. е. энергию черного излучения. Эту часть формулы
можно было бы получить и без рассмотрения флуктуаций, путем
соответствующего обобщения формулы Планка для черного излучения в
пустоте. Согласно последней, энергия черного излучения (в единице объема)
в интервале волновых векторов d3k дается формулой
fid) 2 d3k
efta/r_1 (2л)3
(множитель 2 учитывает два направления поляризации). Соответственно для
получения спектральной плотности энергии надо заменить d3k на 4nk2dk и
подставить k = w/c. Для перехода же от пустоты к прозрачной среде
достаточно положить k = псо/с, т. е. написать
kM = k*-?d<o=^±P- dco, dco с3 dco '
что и дает требуемый результат.
Задачи
1. Найти флуктуации электромагнитного поля вдали от тела, погруженного
в прозрачную разреженную среду, с которой оно находится в тепловом
равновесии; длина волны излучения и расстояние от тела к точке наблюдения
велики по сравнению с размерами тела. Тело обладает анизотропной
электрической поляризуемостью аг-*(со).
Решение. Разреженную прозрачную среду рассматриваем как вакуум. Исквмые
флуктуации определяются малым (на больших расстояниях) изменением
вакуумной функции Грина, вызванным присутствием тела. Для вычис-
*) Полная энергия получается интегрированием по dco от Q-до оо; множители
же 2 в квадратных скобках связаны с тем, что по принятому нами
определению спектральных функций флуктуаций среднее значение <*2>
получается интегрированием (х2)т по dco/2ji от -оо до оо (см. V (122,6)).
382
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
[ГЛ. VIII
ления этого изменения исходим из аналогии, согласно которой вакуумную
функцию Dii (со; г, г') (при заданном индексе к) можно формально
рассматривать как электрическое поле ?,¦ (г, г'), создаваемое в точке г
некоторым источником, находящимся в точке г'. Эта аналогия основяна на
том, что поле ?,• (г, г') (как и его потенциал А{ (г, г')) удовлетворяет
при г Ф г' такому же уравнению, как и функция (со; г, г') - уравнение
(75,16) с 8=1. Пусть тело находится в точке г = 0. Поле
?,(0, r') = D?ft(co; 0, r')^D?*(co; г')
(где D% (со; г) - гриновская функция в пустоте в отсутствие тела,
даваемая выражением (77,6) с 8=1) поляризует тело, создавая тем самым в
точке г = 0 дипольный момент d/ = a,jD/ft (со; 0, г'). Поле же,
создаваемое, в свою очередь, этим дипольным моментом в точке г, и дает
искомое изменение 6Dfi(co; г, г'). Согласно известной из электродинамики
формуле (см. II § 72), поле, создаваемое в точке г находящимся в точке г
= 0 дипольным моментом d (зависящим от времени как е~ш), есть
.Га' . а2 1 etv'f*
1 I са it "4" дх. Qxi\ г '
причем расстояние г должно быть большим только по сравнению с размером
тела, но не с длиной волны; это выражение можно представить в виде
СО2 D
Ei=--D$ (со; г) d[
(напомним, что функция Da (со; г) четна по переменной г). С написанным
выше дипольным моментом находим, следовательно,
6D;fc(co; г, r')=--~DIii(a\ г) atmD%k (со; г').
Искомые корреляционные функции флуктуаций даются теперь общими формулами
(76,3-6) с б Dii вместо D&. Окончательно получаем
б (A?A%%=j^ + i } Im И ri) ai"D*k г*)]' <!>
Напомним, что тело находится в точке г = 0, а Г!"и г3-две точки вдали от
тела. Отметим, что вклад во флуктуации возникает не только от мнимой, но
и от вещественной части поляризуемости; последний можно рассматривать как
результат рассеяния на теле черного излучения, заполняющего прозрачную
среду.
2. То же для тела с магнитной поляризуемостью а,-* (со)1).
Решение. В этом случае рассматриваем rot itD?k (со; г, г') как магнитное
поле Hi (г, г'), создаваемое в точке г источником, находящимся в точке г'
(уравнению того же вида, что и для функции D%}, удовлетворяет не само
поле Я,-, а его потенциал Л,-). Это поле намагничивает тело, создавая в
