Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
результат действия "случайной" э. д. с. <?u = ZJtll. Для нее имеем
(?% = fi<oR (со) cth-|p. (78,2)
В классическом случае (fi(o<^T)
(?% = 277?(и). (78,3)
Подчеркнем лишний раз, что эти формулы совершенно не зависят от природы
явлений, ответственных за дисперсию сопротивления цепи.
§ 79. Температурная функция Грина фотона в среде
Температурная функция Грина фотона в среде строится по мацубаровским
операторам потенциалов электромагнитного поля подобно тому, как временная
функция Грина (75,2) строится из гейзенберговских операторов:
(r)ik = - стд*1 К, г,) А? (т" г2)>. (79,1)
Здесь учтено, что в силу эрмитовости шредингеровских операторов поля
мацубаровские операторы Ам и Ам (определенные согласно (37,1)) совпадают
друг с другом. Эти операторы, однако (в отличие от гейзенберговских),
сами уже не эрмитовы; ввиду вещественности параметра т имеем
[Ям (т, r)]+ = \е^'1%А(г)е-'Н''к]+ =е-'Я'1кА(г)е^'&
или
[Аж(т, r)]+=AM(-т, г).
Поскольку функция (79,1) зависит только от разности
т = т1-т2 (ср. § 37), то можно написать (положив, например,
т>0)
fi, г2) = - <АР (т, г^А^ф, Га)>,
(r)/*(-т; г1. г2) = - <А^(1, ги) Лл* (о, гх)>.
386 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ ' [ГЛ. VIII
Из сравнения этих двух выражений видно, что
(r)/*(-т; ri. г2) = тг). (79,2)
Функция ?Dik может быть разложена в ряд Фурье по переменной т:
?>,¦*(*; rlf Г2) = Г 2 (79,3)
S= - 00
причем "частоты" ^ пробегают (ввиду статистики Бозе, которой подчиняются
фотоны) значения ilt,s = 2nsT (ср. (37,8)). Для компонент этого
разложения из (79,2) следует аналогичное соотношение
ri. г*) = (r)"(-С,; г2, fi)-. (79.4)
Согласно общему соотношению (37,12), эти компоненты связаны с
запаздывающей функцией Грина равенством
(r)/*(?,; ri. = г., rj
при положительных В § 75 было показано, что функции Д^(со; г,, г2) можно
в известном смысле рассматривать как обобщенные восприимчивости,
фигурирующие в общей теории отклика макроскопической системы на
внешнее воздействие.
Отсюда следовало свойство симметрии этих функций, выражаемое (для
немагнитоактивных сред) равенством (75,12), а ввиду связи между функциями
Dfk и S)ik таким же свойством обладают и последние:
(r)ri. г*) = (r)м(?,; ra. ri)- (79>5)
Из этого равенства, вместе с равенством (79,4), следует теперь,
что функции ?Dik(t,s\ гх, г2) четны по дискретной переменной ?*, так что
при всех (положительных и отрицательных) ее значениях имеем
rlf Г,) = (i I e, I; rlt r,). (79,6)
Далее, функция Dfk(<a\ r2), как и всякая обобщенная восприимчивость,
вещественна на верхней мнимой полуоси со (см. V § 123); из (79,6) следует
поэтому, что функция S>ih (?f; гх, г2) вещественна при всех значениях
Наконец, из этих свойств следует, в свою очередь, что и исходная функция
i^, г2)
вещественна и четна 'по переменной т:
ri. гг)= (r)ik ( т> fi, г2). (79,7)
Связь (79,6) между температурной и запаздывающей функциями Грина
позволяет сразу написать дифференциальное уравнение, которому должна
удовлетворять функция SDih в неодно-
§ 79J ТЕМПЕРАТУРНАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА ФОТОНА В СРЕДЕ
387
родной среде; для этого достаточно произвести замену со- в уравнении
(75,15) или (75,16). Так, для изотропной немагнитоактивной среды с jx = 1
находим уравнение
,д2
дхi дх[
•6"Д + 4 е (? | Б, |, г) Ьи
г, г') =
= - 4я&8;а8(г -г'). (79,8)
Для однородной неограниченной среды функция г, г')
разлагается в интеграл Фурье по разности г-г'. Компоненты этого
разложения удовлетворяют системе алгебраических уравнений
1
4 nil
kikl - 8nk2 - 8n i>e(i|S,|)
k) = 6,* (79,9)
и даются формулой 1) й>,*(?" к) = -
4 nh
C2kjkk
& (i I С, I)
(79,10)
tf e(i|?, I )/c2 + ft2
Поскольку функция Dik(t,s, к) выражается (в длинноволновой области
/га<^1) через е(а>), то диаграммная техника для ее вычисления становится
тем самым техникой для вычисления диэлектрической проницаемости среды.
При этом последняя имеет также и определенный диаграммный смысл, который
будет сейчас выяснен.
Будем изображать точную ^-функцию жирной, а. функцию *Е>(0) в вакууме-
тонкой пунктирной линией по правилу 2)
¦ -я;
(79,11)
Вся совокупность диаграмм, изображающих <з5-функцию, может быть
изображена рядом (вполне аналогичным ряду (14,3) для функции G):
---- = -_+---Q-0--0-+... (79,12)
где кружок изображает совокупность диаграммных блоков, не распадающихся
на две части, связанные только одной пунктирной линией; обозначим эту
совокупность посредством -4я.
г) В реальных применениях (ср. § 80) функция всегда фигурирует в
произведении с 'С%; поэтому расходимость при ?,s - 0 фактически
устраняется.
2) Использование пунктира для обозначения ^-функций не может вызвать
здесь недоразумений, так как в этом и следующем параграфах не будет
фигурировать в явном виде энергия парного взаимодействия частиц среды
(для которой ранее использовалось это обозначение).
388 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ [ГЛ. VIII
Функцию Pik (аналогичную собственно-энергетической части гриновской
функции частиц) называют поляризационным оператором.
