Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
(Е?>В?%=? roV&(A?A%%. . (76,5)
Выражая корреляцион-ные функции электромагнитных флуктуаций через
запаздывающую функцию Грина, формулы (76,2-5) сводят задачу об их
вычислении к решению дифференциального
378
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
[ГЛ. VIII
уравнения (75,15) или (75,16) с надлежащими краевыми условиями на
заданных границах тел1).
Ниже мы будем считать, что среда немагнитоактивна. Тогда функция ?)$
обладает свойством симметрии (75,12) и выражение (76,2) принимает вид
(/IfMf>)e=-cth|jlmD5(<o;r1, г2). (76,6)
Обратим внимание на то, что выражение (76,6) вещественно. Вместе с ним
вещественны и (76,3-4), а (76,5) - мнимо. Это значит, что функции
временной корреляции компонент Е и компонент В друг с другом четны по
времени t = tx -12 (как и должно быть для корреляции между величинами,
которые обе четны или обе нечетны по отношению к обращению времени).
Функция же временной корреляции компонент Е с компонентами В нечетна по
времени (как и должно быть для двух величин, из которых одна четна, а
другая нечетна относительно обращения времени). Отсюда следует, что
значения Е и В в одинаковый момент времени не коррелированы друг с другом
(нечетная функция t обращается в нуль при / = 0). Вместе с корреляционной
функцией обращаются в нуль также и средние значения от любых билинейных
по (взятым в одинаковый момент времени) Е и В выражений, например, от
вектора Пойнтинга. Последнее обстоятельство, впрочем, заранее очевидно: в
теле, находящемся в тепловом равновесии и инвариантном относительно
обращения времени, не может быть внутренних макроскопических потоков
энергии.
§ 77. Электромагнитные флуктуации в неограниченной среде
В однородной неограниченной среде функции Dik (со; г1; г2) зависят только
от разности г = г2-rt причем четны по этой переменной (уравнение (75,15)
содержит только вторые производные по координатам, и потому Dik(со; г) и
Dik(u>\ - г) удовлетворяют одному и тому же уравнению). Взяв фурье-ком-
поненты по г от обеих сторон равенства (76,2), получим
(^1Mr)ak = Ycth^{Z)"((0> k)-[^K (77>1)
Для немагнитоактивных сред, с учетом (75,12), эта формула записывается в
виде
HiMHak = -cth|^ImZ)?Kk). (77,2)
г) Теория электромагнитных флуктуаций была развита в другой форме С. М.
Рытовьщ (1953), а в форме, эквивалентной (76,2-5), - М. J1. Левиным и С.
М. Рытовым (1967).
§ 77) ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ 379
В изотропной немагнитной (ц=1) среде функция D$(co,k) дается формулой
(75,20). Задача же об определении пространственной корреляционной функции
флуктуаций сводится к вычислению интеграла
Dfk (со; г) = J D& (со, к) Ц. (77,3)
Интегрирование осуществляется формулами
Лкг
d4
k2 +х2 (2я)3 4пг ' 177 4)
kikkeikr d3k _ д2 е~кг ' ' '
k2 J-x2 (2я)3 дх(дхь 4пг '
из которых первая получается путем взятия компонент Фурье от известного
равенства
"-хг
(А - к2)--- --4лб(г), (77,5)
а вторая получается дифференцированием первой. В результате найдем
то; г) = -А [6,, + ^^] ±ехр ( --?K=Fr) , (77,6)
где г = \т1-г2|, а корень У-е должен быть взят с таким знаком, чтобы было
Re]/-е> 0; для пустоты надо положить е=1, У-е = - i (см. ниже).
Отсюда, согласно (76,6) и (76,3), сразу находим
(Е?ЕР)а =
(77,7)
(С. М. Рытое, 1953). Свернув это выражение по индексам i, k (и
воспользовавшись формулой (77,5)), получим
(E(1)E<2))(o=2^cth^Imехр (-^\Г=^Г) + 2л6(г)]|.(77,8)
Аналогичным образом, вычисление по формуле (76,4) приводит к выражениям
для корреляционных функций магнитного поля, отличающихся от (77,7-8)
отсутствием множителя 1/е перед квадратной скобкой; при этом член с 8-
функцией под знаком* Im в (77,8) становится вещественным и выпадает из
ответа. Связь выражений (77,7-8) с мнимой частью е ясно подчеркивает
связь электромагнитных флуктуаций с поглощением в среде. Но если
произвести переход к пределу Ime->-0 в формулах (77,7-8), мы получим
конечные, отличные от нуля выражения.
380 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИЯ [гл. VIII
Это обстоятельство связано с порядком перехода к двум пределам-
бесконечным размерам среды и равной нулю Ime. Поскольку в бесконечной
среде уже сколь угодно малое Ime приводит в конце концов к поглощению, то
при использованном нами порядке перехода к пределам получающийся
результат относится к физически прозрачной среде, в которой, как и во
всякой реальной среде, сколько-нибудь отличное от нуля поглощение все же
имеется.
Произведем, например, указанный переход в формуле (77,8). Для этого
замечаем, что при малом положительном Ime (при со > 0)
1Г=ъ " - i (1 + i
(с учетом требования Re]/-е>0). Поэтому в пределе Ime->0 получим
(Е(1,Е(2,)и e J. (Н<1>Н<2% = ~ sin^ cth ^ , (77,9)
где п - Vb-вещественный показатель преломления. Ввиду отсутствия члена с
8-функцией это выражение остается конечным и при совпадающих точках и г2:
(E% = ^(H*)a = ^cth^. (77,10)
Предельный переход к случаю прозрачной среды можно было бы произвести и
на более ранней стадии вычислений - в гриновской функции. Учтя, что знак
