Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
единичный антисимметричный псевдотензор. При этом (rot А),- = rot,j.i4j.
§ 75]
ГРИНОВСКАЯ ФУНКЦИЯ Фотона В СРЕДЕ
375
к 1, и ниже в этом параграфе мы будем считать ее равной 1. Положив eik =
E8(k и Ц/* = 6,-А, получим уравнение
[s-6"A-6^2 r)] D/*(co; г' г')=
= - 4nUik8(r -г'). (75,16)
Таким образом, вычисление запаздывающей функции Грина для неоднородной
среды сводится к решению определенного дифференциального уравнения (И. Е.
Дзялошинский, J1. П. Пи-таевский, 1959). *).
На границах между различными средами компоненты тензора D?k должны
удовлетворять определенным условиям. В уравнении (75,16) вторая
переменная г' и второй индекс k не участвуют в дифференциальных или
алгебраических операциях, производимых над тензором Dfy, т. е. играют
лишь роль параметров. Поэтому граничные условия должны ставиться только
по координатам г для функции Г>$(со;г, г'), рассматриваемой как вектор по
индексу I. Эти условия соответствуют известным из макроскопической
электродинамики требованиям непрерывности тангенциальных компонент Е и
Н'). Поскольку Е = -А/с, то роль вектора Е играет при этом производная
или, в компонентах Фурье,
со; г, г'). . (75,17)
Аналогичным образом, роль вектора Н (совпадающего при ц = 1 с В) играет
T0UtDik (со; г, г'). (75,18)
Для пространственно-однородной неограниченной среды функция Dffc зависит
только от разности г-г'. Для компонент фурье-разложения по этой разности
дифференциальное уравне-
!) Отметим, что функция Dih оказывается функцией Грина уравнений
Максвелла в известном из математической физики смысле - решение уравнений
поля с точечным источником, удовлетворяющее условию запаздывания
(опережающая функция D?k удовлетворяла бы такому же уравнению с е* вместо
е). •
3) Граничные условия для нормальных компонент В и D не дают в данном
случае ничего нового в соответствии с тем, что в поле, меняющемся со
временем как e-i<at, уравнения divD = 0, div В = 0 являются следствием
уравнений rotE = i<oB/c, rotH=-koD/c.
376 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ [гл. VIII
ние (75,16) сводится к системе алгебраических уравнений
^ [ktkt-6tlV + 6" ? е (со)] Dl (со, k) = 6rt. (75,19)
Решение этих уравнений:
DS("'k)-K(S^[6"-Ss-]- (76'20)
Согласно (36,21), функция Грина Dik для однородной среды выражается через
запаздывающую функцию Dfk формулой
Dik(со, k) = ReDS((c),k) + tcth|| • 1т?>$(со, k). (75,21)
При Т->-0 эта формула дает
Dik{(a, k) = ReD$(co, k) + isigna>-ImD$(co, k). (75,22)
Функция Dfk дается выражением (75,20); если учесть, что Ree(co)-четная, a
Ime(co) - нечетная функция со, то мы найдем, что при Т = 0
Dik ((r), k) = Dfk (| со |, к). (75,23)
В пустоте е (со) = 1. Но поскольку во всякой материальной среде Ime (со)
> 0 при со>0, то вакууму отвечает предельный переход е-"-1-J-iO. При этом
получается выражение
OS' К к)=",;е,^,+.о (6"-^) ¦
совпадающее с известным результатом квантовой электродинамики (см. IV §
77).
§ 76. Флуктуации электромагнитного поля
Как уже было указано в начале предыдущего параграфа, при рассмотрении
флуктуаций электромагнитного поля речь идет о колебаниях со временем
величин, усредненных только по физически бесконечно малым элементам
объема (но не по движению частиц в нем). В таком же смысле надо понимать
и квантовомеханические операторы этих величин.
Основные формулы теории электромагнитных флуктуаций могут быть написаны
непосредственно исходя из общих формул флуктуационно-диссипационной
теоремы (V § 125). Напомним, что для дискретного набора флуктуирующих
величин ха спектральное распределение флуктуаций выражается через
обобщенные восприимчивости ааЬ("в) формулой
(хахь) а ^ {а*ы-ааЬ) cth ,
§ 76] ФЛУКТУАЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 377
где сама величина (хахь)а, представляет собой компоненту фурье-разложения
по времени корреляционной функции
фаь (0 =¦у <ха (0 хЬ (0) + Ч (0) ха (*)>,
a xa(t) - гейзенберговские операторы величин ха. В случае распределенных
величин ха (г) (функции координат точки в теле) эта формула записывается
в виде
(41>42>)o) = Ycth^-[aia((c); г2> гх)-ааЪ(<о\ ги г2)], (76,1)
где индексы (1) или (2) означают, что значение величины берется в точке
Tj или г2.
В предыдущем параграфе было показано, что если величинами ха являются
компоненты векторного потенциала А (г)/с, то соответствующими обобщенными
восприимчивостями будут компоненты тензора -Д^(ю; г1( г2)1%с2. Поэтому
сразу находим
(Л|МГ)<о = усШ^^((c); г,, г,)-[Z>S(o>; г,-, г,)]*}. (76,2)
Спектральные функции флуктуаций напряженностей поля получаются из (76,2)
простым способом. Пусть <рД(^, rx; t2, г2) - корреляционная функция
флуктуаций векторного потенциала; выражение (76,2) есть компонента фурье-
разложения этой функции по t - t1 -13. Поскольку электрическая
напряженность
то такая же функция для компонент Е
е 1 д* л 1 д2 ,
'Pi*"с2 dt-i,dh^ik~ с2 dt2 (р'*'
или, в фурье-компонентах:
(E?EF% = ?(A?A1*>)a. (76,3)
Аналогичным образом, учитывая связь В = rot А, получим
(fi№)ffl = rotfl'rotffi (АРА%%, (76,4)
