Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
экспоненциально мал.
!) К такому типу относится антиферромагнетик FeCOs, имеющий
ромбоэдрическую решетку (кристаллической класс D3lj) с двумя ионами Fe в
эле-ментарной ячейке. Магнитные моменты этих ионов направлены в
противоположные стороны вдоль оси симметрии третьего порядка.
2) Частоту ш (0) - е [0)/Я называют частотой антиферромагнитного резо-
нанса.
ГЛАВА VIII
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
§ 75. Гриновская функция фотона в среде
Приступая к изучению статистических свойств электромагнитного поля в
материальных средах, напомним прежде всего, в чем заключается смысл
усреднений, которым подвергаются электромагнитные величины в
макроскопической электродинамике.
Если исходить, для наглядности, из классической точки зрения, то можно
различать усреднение по физически бесконечно малому объему при заданном
расположении всех частиц в нем и затем усреднение полученной величины по
движению частиц. В уравнения Максвелла макроскопической электродинамики
входят полностью усредненные величины. При рассмотрении же флуктуаций
поля речь идет о колебаниях со временем величин, усредненных лишь по
физически бесконечно малым объемам.
С квантовомеханической точки зрения говорить об усреднении по объему
можно, разумеется, не для самой физической величины, а лишь для ее
оператора; второй же шаг заключается в определении среднего значения
этого оператора с помощью квантовомеханических вероятностей. Фигурирующие
ниже в этой главе операторы поля будут пониматься как усредненные только
в первом смысле.
Статистические свойства электромагнитного излучения в материальной среде
описываются гриновской функцией фотона в среде. Для фотонов роль ^-
операторов играют операторы потенциалов электромагнитного поля. Фотонные
функции Грина определяются через эти операторы таким же образом, как они
определяются для частиц через ^-операторы.
Потенциалы поля составляют 4-вектор А11 = (Л°, А), где Л° = ф скалярный,
а А - векторный потенциалы. Выбор этих потенциалов в классической
электродинамике неоднозначен: они допускают так называемое калибровочное
преобразование, никак не отражающееся ни на каких наблюдаемых величинах
(см. II § 18). Соответственно в квантовой электродинамике такая же
неоднозначность имеет место в выборе операторов поля, а с ними - и в
определении гриновских функций фотона. Мы будем пользоваться калибровкой,
в которой скалярный потенциал равен
§ 75]
ГРИНОВСКАЯ ФУНКЦИЯ ФОТОНА В СРЕДЕ
371
нулю:
Л°~ф = 0, (75,1)
так что поле определяется одним лишь векторным потенциалом. Такая
калибровка обычно оказывается удобной для задач, в которых речь идет о
взаимодействии электромагнитного поля с нерелятивистскими частицами, -как
это и имеет место для поля в обычных материальных средах.
В этой калибровке функция Грина представляет собой трехмерный тензор
второго ранга
Dik (Xit Х2) = - i <TAi (XJ Ak (X2)> (75,2)
(i, k = x, у, г-трехмерные векторные индексы), где угловые скобки
обозначают (как и в (36,1)) усреднение по распределению Гиббса для
системы, состоящей из среды вместе с находящимся с ней в равновесии
излучением; поскольку фотоны являются бозонами, то перестановка
операторов Ае, Ак при их хронологизации не сопровождается изменением
знака произведения. Напомним также, что операторы А{-самосопряженные (чем
выражается истинная нейтральность фотона); поэтому в (75,2) не делается
различия между Л,- и Af1).
В качестве первичного понятия для построения всех видов фотонных
гриновских функций следует,. однако, пользоваться не (75,2), а
запаздывающей функцией Грина, определенной согласно
iDfh (X X ) = I <'^i (*i) (*a) Ак(Х2) Aj (Xj)y, > t2, g)
(знак минус между двумя членами в угловых скобках отвечает определению
(36,9) для статистики Бозе).
Для замкнутой системы функция Грина зависит от моментов времени tlf t2
только через их разность t = tx -12. Что же касается координат гх, г2, то
в общем случае неоднородной среды они входят в функцию независимо друг от
друга: D^(t\ rlf г2). Соответственно фурье-разложению эта функция будет
подвер-
!) В общем случае произвольной калибровки потенциалов фотонная функция
Грина является 4-тензором D^v (в калибровке же (75,1): D0o = 0, D0i = 0).
Общие тензорные и калибровочные свойства фотонной функции Грина в
статистике- такие же, как и в квантовой электродинамике поля в вакууме.
Отметим, что определение (75,2) отличается знаком от принятого в IV. Оно
выбрано здесь единообразно с определением гриновских функций других
бозонов (в том числе фононов).
372
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
[ГЛ. VIII
гаться только по времени; компонента этого разложения
со
0&(ю; I-!, г2) = <\elatDfk(t; rit rt)dt. (75,4)
о
Рассматривая величины, усредненные по физически бесконечно малым объемам,
мы тем самым ограничиваем себя рассмотрением лишь длинноволновой часТи
излучения, в которой волновые векторы фотонов удовлетворяют условию
ka<^ 1 (75,5)
(а-межатомные расстояния в среде). В этой области частот гриновская
