Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
и что v - единственный имеющийся в нашем распоряжении постоянный вектор.
По аналогии с § 69 коэффициент у можно было бы записать как у = (g | е
|/2тс) Lu; в отличие от ферромагнетика, однако, теперь g^= 2 даже в
пренебрежении релятивистскими эффектами. При монохроматических колебаниях
dl/dt = - icol, ..., и тогда определяемые уравнениями (74,4) векторы 1 и
m перпендикулярны v. В рассматриваемом приближении это значит, что вектор
L прецесси-рует вокруг направления v с постоянной абсолютной величиной L
" L0.
Для определения эффективных полей HL и Нм надо установить вид свободной
энергии кристалла. При этом надо ограничиться членами второго порядка по
малым величинам 1 и т, а для членов с производными от этих величин по
координатам - не выше второго порядка по волновому вектору колебаний,
длина волны Kotopbix предполагается (как и в § 70) большой по сравнению с
постоянной решетки. В обменном приближении свободная энергия должна быть
инвариантна по отношению к одновременным поворотам всех магнитных
моментов, а также и по отношению к изменению знака L. Выражение,
удовлетво-
368
МАГНЕТИЗМ
[ГЛ. VII
ряющее всем поставленным условиям, имеет вид
с р I am2 ,Ь( д\ , dm \ , 1 51 dl \ ... . _ч
о6 J \~2 ^"2* \1,1 "55 ~дг ) ^"Та'*Ж7^/ ' (74>5^
где ось г направлена вдоль v (так что изменение знака v означает также и
изменение знака z); коэффициент а > 0 в соответствии с тем, что в
равновесии должно быть ш = 0. Член с I2 здесь отсутствует, так как его
наличие означало бы зависимость энергии от направления вектора L=L0-fl в
кристалле, которая в обменном приближении отсутствует. Член с суммой m
dl/dz -f- 1 dm/dz сводится к полной производной и исчез бы при
интегрировании по объему. Наконец, члены, квадратичные по производным
дт/дх;, не надо учитывать, так как они заведомо малы по сравнению с
членом с та. Варьируя интеграл
(74,5) (и произведя в нем интегрирования по частям), получим
" 1 dm . д21 ,dl
+ НД1 = -ат-&1?. (74,6)
Для плоской монохроматической спиновой волны уравнения движения (74,4)
дают теперь:
- 1(c)1 = - vafmv]-ik2yb[lv],
- t'(c)m==i&z7b[rnv] - -j)a(n)/e2[lv], ^ 1
где снова (как и в § 70) a(n) = a(ftn,-nft, п - единичный
вектор
в направлении к. Умножив первое из этих уравнений векторно
на V, получим
у am = - ко [lv]- ikzybl, (74,8)
подстановка же этого выражения во второе уравнение сразу приводит к
следующему закону дисперсии спиновых волн:
,(c) = Y^[aa(n) - &2(vn)a]1/2. (74,9)
Таким образом, частота спиновых волн, а тем самым и энергия магнонов е =
Йй в антиферромагнетике в обменном приближении пропорциональны k, а не №,
как в ферромагнетике1).
Уравнения (74,7) устанавливают однозначную связь между
1 и ш, но обе компоненты 1 (в плоскости, перпендикулярной v) остаются
произвольными. Это значит, что спиновые волны в рассматриваемом
антиферромагнетике имеют два независимых направления поляризации.
Для учета магнитной анизотропии надо сделать более конкретные
предположения о характере симметрии кристалла.
х) Такой закон дисперсии для антиферромагнетиков впервые получен
Хюльтеном (L. Hulthen, 1936). Вывод, использующий макроскопическое
рассмотрение намагниченностей подрешеток, дан М. И, Кагановым и В. М. Цу-
керником (1958).
§ 74]
МАГНОНЫ В АНТИФЕРРОМАГНЕТИКЕ
369
Пусть кристалл имеет одноосную симметрию, причем равновесное направление
L совпадает с осью симметрии1).
Из (74,8) видно, что вектор ш в спиновой волне мал по сравнению с 1-
содержит лишнюю степень малого волнового вектора к. В таком же смысле
эффективное поле По этой
причине достаточно учесть анизотропию, связанную с вектором 1. При
сделанных предположениях плотность этой энергии (JaB = =/<12/2, причем К
> 0.,Ее учет приводит к появлению дополнительного члена -К\ в эффективном
поле ML, которое для плоской волны становится равным
Н L = ikzbm - [a(n)fc2 + /f]l. (74,10)
Отсюда видно, что с учетом анизотропии закон дисперсии спиновых волн
получается из (74,9) заменой ak2 на a.k2 + K- В результате при k-<-0
энергия магнонов будет стремится не к нулю, а к конечной величине 2)
е(0 )=йуУаК (74,11)
(Ch. Kittel, 1951). Обратим внимание на то, что щель в спектре
оказывается пропорциональной корню из константы анизотропии (а не ее
первой степени, как в (70,12)). Поскольку малость релятивистских эффектов
выражается относительной малостью константы анизотропии, то в
антиферромагнетике эти эффекты, вообще говоря, существеннее, чем в
ферромагнетике.
Магнонный вклад во внутреннюю энергию антиферромагнетика вычисляется по
формуле (71,3). В области температур е(0)<^Г<^TN (TN-температура
исчезновения антиферромагнетизма, точка Нееля) можно пользоваться
спектром (74,9). Водноосном кристалле
(c) = уа1/2 [at (k% -f- Щ) + а^]1/2, с^ = а2 - Ь2/а.
Вычисление интеграла (71,3) приводит к следующему результату для
магнонного вклада в теплоемкость:
г -у__________4л2г:)-----
isfa3/*(<bal)1/2P ' ( '
При температурах же 7,<^е(0) магнонный вклад в термодинамические величины
