Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
функция фотона может быть выражена через Другие макроскопические
характеристики среды - ее диэлектрическую и магнитную проницаемости е(со)
и [г(ю).
Для этого запишем оператор взаимодействия электромагнитного поля со
средой:
F = d"x, . (75,6)
где j-оператор плотности электрического тока, создаваемого частицами
среды1). Если же в среду внести некоторый классический "сторонний" ток j
(t, г), то с ним будет связан оператор взаимодействия
tSr)*d3x- (75>7)
Это выражение позволяет установить связь с общей теорией отклика
макроскопической системы на внешнее воздействие.
Напомним, что в этой теории (см. V § 125) фигурировал дискретный ряд
величин ха(а = 1,2,...), характеризующих поведение системы под действием
определенных внешних воздействий. Эти воздействия описываются
"возмущающими силами" fa{t) такими, что оператор энергии взаимодействия
имеет вид
vSfX,
J) См. IV § 53 (в IV ток обозначается как е\, т. е. элементарный заряд е
выносился из определения j). Оператор (75,6) подразумевает использование
релятивистского выражения для оператора тока. В нерелятивистских задачах
можно пренебречь в г|>операторах (из которых строится оператор тока J)
частями, связанными с отрицательными частотами, т. е. с античастицами.
Это означает, в частности, пренебрежение радиационными поправками,
которые изменяют фотонную функцию Грина в вакууме за счет виртуального
рождения электронно-позитронных пар. Эти поправки пренебрежимо малы при
длинах волн условие, заведомо выполненное в области (75,5).
§ 75] ГРИНОВСКАЯ ФУНКЦИЯ ФОТОНА В СРЕДЕ 373
где ха - операторы величин ха. Средние значения xa(t), устанавливающиеся
под действием возмущения, являются линейными функционалами сил fa(t). Для
фурье-компонент всех величин эта связь записывается в виде
хаЧ> = 2 ааЬ С(r)) /Ьа>
Ь
(предполагается, что в отсутствие возмущения ха = 0). Коэффициенты ааЬ в
этих соотношениях называют обобщенными восприимчивостями системы. Если
обе величины ха и хъ ведут себя одинаково по отношению к обращению
времени, а тело не магнитоактивно (не обладает магнитной структурой и не
находится в магнитном поле), то величины ааЬ симметричны по своим
индексам.
Здесь нам придется иметь дело с величинами fa и ха, имеющими
распределенный характер-функциями координат г точки тела. В таком случае
выражение V надо писать в виде
V =-2 S/"(*,"•)*"(*, г) d'*, (75,8)
а
а соотношение между средними' значениями ха и силами fa-как
Хаа (г) = 2 J dab (и; Г. г') /*<о (г') d"x'. (75^)
Обобщенные восприимчивости становятся теперь функциями координат двух
точек в теле, а их симметрия выражается равенством
авь(": г, г')=аьа(ы; г', г). (75,10)
Согласно формуле Кубо (см. V (126,9)), восприимчивости выражаются через
средние значения коммутаторов гейзенберговских операторов xa(t, г):
ааЪ (И! Г> Г') =
оо
= \1еШ г)*ь(°, r')-xb{0,r')xa{t, г)ydt. (75,11) 0
Будем рассматривать теперь в качестве "сил" fa компоненты вектора тока j.
Тогда из сравнения (75,7) с (75,8) видно, что отвечающими им величинами
ха будут компоненты векторного потенциала поля А/с. Сравнение же формулы
(75,11) с определением (75,3-4) показывает теперь, что обобщенные
восприимчивости ааЬ (со; г, г') совпадают с компонентами тензора
-D&iсо; г, г')/йс2.
374 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ [гл. VIII
В силу (75,10) отсюда сразу следует (для немагнитоактивных сред), что
D&((0;r,r') = D&(<0;r',r). (75,12)
Соотношения же (75,9) принимают вид
Лео (г) = - j-J D& (о; г, г') (г') d*x'. (75,13)
Среднее значение А есть не что иное, как векторный потенциал
макроскопического (полностью усредненного-см. начало параграфа)
электромагнитного поля в среде; ниже черту над А (а также и над другими
макроскопическими величинами) не будем писать. Учтем теперь, что
макроскопическое поле, создаваемое классическим током j, удовлетворяет
уравнению Максвелла
, u 4п . (со
rot Нщ - - ](,} - Do,
где D-электрическая индукция; в общем случае анизотропной среды Da
связано с напряженностью Ем соотношениями Дм= = eik (со) Ека, если среда
неоднородна, то тензор диэлектрической проницаемости является также и
функцией координат: ert(co,r).
В выбранной нами калибровке потенциалов (75,1) имеем
B(o = rot А(о, Ем = 1-^-А(о, (75,14)
где В-магнитная индукция, связанная с напряженностью Н соотношениями Bia
= [iikHka1)- Поэтому для потенциала имеем уравнениеа)
(Цтл r<-*tn*) - ~ /,-са-
Подставив сюда Аш в виде (75,13), найдем, что функция Dfk должна
удовлетворять уравнению
[rot/e(|i^,rotBt)- j?e,f]?g(<B; г, г') = -4яЙ6й6 (г-г'). (75,15)
Это уравнение существенно упрощается для изотропных (в каждом своем
элементе объема) сред, когда тензоры г1к и fiM сводятся к скалярам.
Магнитная проницаемость обычно близка
]) Напомним, что в макроскопической электродинамике среднее значение
микроскопической электрической напряженности принято обозначать как Е, а
среднее значение магнитной напряженности-как В и называть магнитной
индукцией.
s) Здесь и ниже пользуемся обозначением го tn~eikid/dxk, где е;**-
