Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
Диаграммное равенство (79,12) эквивалентно уравнению
----------------(79,13)
(ср. переход от (14,3) к (14,4)). В аналитическом виде оно дает &>ik =
"ад + ЩТ (79,14)
(все множители-функции одинаковых аргументов к). Умножив это равенство
справа на обратный тензор и слева - на перепишем его в виде
(r)rt = (r)№-1-S>ik/4n. (79,15)
Наконец, взяв &)? из левой стороны уравнения (79,9) и такое же выражение
с 8=1 для найдем
$*"(?" к) = -^[8(г|^|)-1]б/ъ (79,16)
чем и определяется диаграммный смысл функции е (со) - 1 в дискретном
множестве точек на верхней мнимой полуоси со. Аналитическое продолжение
функции e(t|^|) на всю верхнюю полуплоскость должно, в принципе,
производиться с учетом того, что е (со) не должна иметь особенностей в
этой полуплоскости и что е(ю)-> 1 при [ со j-s-oo1).
В неоднородной среде поляризационный оператор является (как и S>!k)
функцией координат двух точек. Повторив весь вывод в координатном
представлении, получим вместо (79,14) уравнение
(r)tk(rи г,) =*
= (r)Й)(Г], Г2) + -Js>t?(rlf г,)5*гя(г" r4)S>mft(r4, Гt)d*Xad*Xt
(аргументы ^ для краткости не выписываем). Подействовав на это равенство
слева оператором
да * Л I ll *
дхщдхи + °ni
1) В анизотропной среде надо писать
5""(Сж. Ч = (Й/М [Zik(i\ls I)-в/*1-
Отметим, 'что в таком виде это выражение остается справедливым и при
наличии пространственной дисперсии, когда е/А зависит не только от
частоты но и от волнового вектора, '
§ 79]
ТЕМПЕРАТУРНАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА ФОТОНА В СРЕДЕ
389
и учтя, что D(0) удовлетворяет уравнению (79,8) с е = 1, получим
Структура конденсированной среды, а с нею и ее диэлектрические свойства
определяются силами, действующими между ее частицами на расстояниях
порядка атомных размеров а. На этих расстояниях можно (при-
нерелятивистских скоростях частиц) пренебречь запаздыванием
взаимодействий, которое становится существенным лишь для длинноволновых
(в смысле ka<^. 1) компонент поля; другими словами, при вычислении
поляризационного оператора можно пренебречь длинноволновой частью поля. В
диаграммах же для самой гриновской функции S>ik длинноволновое поле
фигурирует лишь через тонкие пунктиры в правой стороне (79,12).
Рассмотренный в этом параграфе трехмерный тензор !Pik является, конечно,
лишь пространственной частью поляризационного 4-тензора ^*MV. Подчеркнем,
во избежание недоразумений, что его временная и смешанные Э30{
компоненты
отнюдь не равны нулю. Более того, как и в квантовой электродинамике, этот
4-тензор вообще не зависит от калибровки потенциалов. В нерелятивистской
теории эта калибровочная инвариантность очевидна уже из указанной только
что возможности вычисления поляризационного оператора с учетом одних
только незапаздывающих сил, не зависящих от калибровки длинноволнового
поля1).
х) См. IV § 100. Пользуемся случаем исправить ошибку, допущенную в
изложенных там рассуждениях. 4-тензор, обратный точному фотонному
пропагатору .(c)nv (обозначения, как в IV!), имеет вид
и аналогично для пропагатора свободных фотонов (в IV (100,18)
был
пропущен второй член в этих выражениях). Эти 4-тензоры зависят от
калибровки и не являются поперечными. Вывод о поперечности
поляризационного оператора и о его калибровочной инвариантности, однако,
не меняется. Дело в том, что продольная часть пропагатора связана с не
имеющей физического смысла продольной частью 4-потенциала и не участвует
во взаимодействии. Поэтому взаимодействие не меняет ее, так что = D1. В
силу равенства - -D|Iv-5Vv/4n (IV (100,14)) отсюда и следует поперечность
и его независимость от "gjM,
откуда
390
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
[ГЛ. VIII
Компоненты 3*0й и 5%,. можно найти из условия поперечно-сти 4-тензора:
5>(lv^tl=0, где /г^ = (г^, к) - волновой 4-вектор: ^.. = -
ilk <79>18) [г (МУ)-1]-
§ 80. Тензор напряжений ван-дер-ваальсовых сил
Хотя структура конденсированных тел в основном определяется (как было
отмечено в конце предыдущего параграфа) силами, действующими между его
частицами на атомных расстояниях, но определенный вклад в
термодинамические величины тела (скажем, в его свободную энергию) вносят
также и так называемые ван-дер-ваальсовы силы-силы, действующие между
атомами на расстояниях, больших по сравнению с атомными размерами а.
Напомним, что для свободных атомов энергия этого взаимодействия убывает с
расстоянием, как г-6 (см. III § 89), а после того, как становятся
существенными эффекты запаздывания,- как г-7 (см. IV § 83). В
конденсированной среде, разумеется, ван-дер-ваальсовы силы не сводятся к
взаимодействию отдельных пар атомов. В то же время тот факт, что их
радиус действия велик по сравнению с межатомными расстояниями, позволяет
подойти к вопросу об их влиянии на термодинамические свойства тел с
макроскопической точки зрения.
В макроскопической теории ван-дер-ваальсово взаимодействие в материальной
среде рассматривается как осуществляющееся через длинноволновое
электромагнитное поле (Е. М. Лифшиц, 1954); напомним, что это понятие
