Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
откуда
(85,13)
На эти формулы полезно взглянуть с несколько иной точки зрения, чтобы
установить связь с диаграммами в § 79. Дело в том, что кулоново
взаимодействие между зарядами можно рассматривать как результат обмена
виртуальными фотонами. При этом, однако, удобнее использовать не
калибровку (75,1), а так называемую "кулонову" (см. IV § 77), в которой -
D00 как раз равна фурье-компоненте кулонового потенциала.
Пространственная же часть Dik в этой калибровке описывает запаздывание и
магнитное взаимодействие, и ею в нерелятивистской плазме можно
пренебречь. Поэтому можно считать, что пунктирным линиям на диаграмме
(85,11) соответствует мацубаров-ская й)00, а функция 5* есть не что иное,
как компонента 5*00 поляризационного оператора. Согласно (79,18) можно,
следовательно, написать 5)(^, q) = - <7а[8г (l* I ?* I" q) - 1] (легко
видеть, что при наличии пространственной дисперсии в (79,18) входит
именно продольная проницаемость ег). Подставляя это выражение в (85,13),
находим
т. е., как и следовало, фурье-компоненту потенциала единичного заряда в
среде.
Раскрыв, по общим правилам мацубаровской техники, диаграмму (85,11),
находим
Мы увидим ниже, что основную роль в сумме играет член с s = 0, причем
соответствующий интеграл определяется областью малых q. Поэтому для
вычисления (85,15) фактически достаточно знать предельное значение 5s (0,
q) при q-*-0. Эту величину легко определить из простых физических
соображений, даже не прибегая к прямому вычислению по диаграммам (85,10).
При ?* = 0 функция Ф(0, q) представляет собой фурье-образ потенциала Ф(г)
электростатического поля единичного заряда в плазме. Невозмущенный
потенциал ср(г) удовлетворяет уравнению Пуассона с 6-функцией в правой
части: Дср = - 4яб(г).
Ф(?,,ч) 9*8,((is,i. "о*
4я
(85,14)
(85,15)
420 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ [гл. VIII
Уравнение же для потенциала Ф, искаженного поляризацией плазмы,
получается добавлением в правой стороне изменения бр плотности зарядов в
плазме под влиянием самого поля:
ДФ = - 4я [б (г) + бр]. (85,16)
С другой стороны, при q->-0 мы имеем дело о полем, медленно меняющимся
вдоль объема плазмы. В таком поле справедливо термодинамическое условие
равновесия
|ла + е;гаФ = const = |Ла,) (85,17)
где [ia-химический потенциал частиц сорта а, Ца0) - его значение в
отсутствие поля. Из этого условия находим для изменения плотности частиц
па:
и затем для изменения плотности заряда:
бр = ?егаЬпа = "Е >2(fe)r,
- а а
Подставив это выражение в (85,16), получим уравнение
ДФ-х2Ф = - 4я6 (г), (85,18)
где введено обозначение
(85,19)
Из (85,18) видно, что 1/х есть дебаевский радиус экранирования поля в
плазме (ср. V § 78). Наконец, взяв фурье-компо-ненту от обеих сторон
уравнения (85,18), найдем, что
Ф(Ч) = ^,
и сравнение этого выражения с (85,13) дает
5"(0, q)|q-*0 = -x2. (85,20)
Производя теперь интегрирование в (85,15) с этим значением SP, находим
__ VTxi Г 4яд2dq __________VTv?
Wkop 2 (2я)3 J q2 (<72 + }"2) 8я •
Отметим прежде всего, что интеграл оказывается сходящимся на нижнем
пределе и основную роль в нем играют д-~х. Для невырожденной ионной
компоненты плазмы имеем дп^дц^п^Т, а для электронов ,дпс1д\1е ~ пе/\х,е.
Легко видеть, что в силу условий (85,2) х^п1/3, а потому и q^n1/3, т. е.
1 [q велико
§ 85]
ВЫРОЖДЕННАЯ ПЛАЗМА
421
по сравнению с межчастичными расстояниями. Этим оправдывается
использование условия равновесия (85,17). ДЛя оправдания же -
пренебрежения всеми членами суммы в (85,15) кроме члена с s = 0 замечаем,
что, согласно (85,14), поляризация плазмы при отличных от нуля частотах
описывается диэлектрической проницаемостью ег(со, q). Согласно известному
асимптотическому выражению при больших . частотах, ег(со)"1 -
- 4ппее21теы2, а потому
(см. VIII § 59). В силу условий (85,1-2) все отличные от нуля частоты Zs
- 2snT^>(nee2jme)1/2, и потому для них можно уже считать e(i|?J) = l, т.
е. поляризация плазмы отсутствует и З3 мало.
Формула (85,21) выражена через термодинамические переменные Т, V, |д0.
Поэтому термодинамический потенциал ?2 плазмы может быть найден прямым
интегрированием равенства
(см. V (80,4)). В результате найдем для корреляционной части Q *
следующее выражение (обычные единицы):
(А. А. Веденов, 1959). Согласно общей теореме о малых добавках, эта же
формула, выраженная через другие термодинамические переменные, дает
поправку к другим термодинамическим потенциалам.
Для невырожденной плазмы все производные дпа1дца = па/Т, и тогда (85,23)
переходит в формулу
для поправки к свободной энергии, совпадающую с V (78,12).
В случае сильного вырождения электронов в плазме (Т<^|ле) производная
dnjd\ie ~ nel\ie<^.nejT. В сумме по а в (85,23) можно тогда вообще
пренебречь электронным членом, и мы снова получаем формулу (85,24) с той
лишь разницей, что сумма в ней берется лишь по сортам ионов в плазме.
Таким образом, при сильном вырождении электроны вообще не влияют на
радиус экранирования и на корреляционную часть термодинамических величин
