Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лифшиц Е.М. -> "Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния " -> 161

Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.

Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния — Москва, 2000. — 449 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayafizika2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 155 156 157 158 159 160 < 161 > 162 163 164 165 166 167 .. 172 >> Следующая

плазмы.
(85,22)
2 VnVTe3
3
а
(85,24)
ГЛАВА IX
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
§ 86. Динамический формфактор жидкости
Рассмотренная в V § 116 корреляционная функция флуктуаций плотности
является частным случаем более общей функции, связывающей флуктуации
плотности не только в различных точках пространства, но и в различные
моменты времени. В классической теории эта функция определяется как
среднее значение
no(t\ rit r2) = <6n(tu ri)8n(t2, r2)>, (86,1)
где t = tl-t2\ из определения сг вынесен множитель n = M/V - средняя
плотность числа частиц. Для однородной и изотропной ' среды (жидкость,
газ) функция (86,1) зависит от гг и г2 только через расстояние г = |г1 -
г2| между двумя точками, что и будет предполагаться ниже.
В квантовой теории аналогичная функция определяется с помощью
симметризованного произведения зависящих от времени (гейзенберговских)
операторов плотности как
na(t, г)=-^<бn(tlt 14)6n(t2, r2) + Sn(t2, r2)6n(tu i\)> (86,2)
(в соответствии с общим способом определения согласно
V (118,4)). Некоторые преимущества, однако, имеет в данном случае
несимметричное определение
na(t, r) = <8n(ti, r1)8n(t2, r2)>, (86,3)
для которого сохраним обозначение o(t, г)1). В противоположность функции
a(t, г) функция o(t, г) не является четной по переменной t; очевидно, что
a(t, r) = ~[a{t, r) + a(- t, г)]. (86,4)
x) Именно эта функция является непосредственно наблюдаемой величиной,
например, при неупругом рассеянии нейтронов в жидкости - см. задачу.
§ 86] ДИНАМИЧЕСКИЙ ФОРМФАКТОР жидкости 423
Фурье-образ функции сi(t, г) по времени и координатам
00
cr(co, к)= (т (со, k) = ^ ё ("*-кг) сг (t, г) dt d3x (86,5)
- 00
называют динамическим формфактором среды. Ввиду изотропии функции сг (t,
г) он зависит только от абсолютной величины волнового вектора. Из (86,4)
следует, что фурье-образ функции a(t, г)
а (со, fe) = -^ [сг (со, k) + a(- со, &)]. (86,6)
Чисто пространственная корреляция флуктуаций плотности жидкости
определяется функцией (86,1) при ? = 0: сг (г) = = a (t = 0, r) = a (t =
0, г). Эта функция связана с введенной в V § 116 (и использованной в §
83) функцией v(r) согласно сг (г) = v (г) + 6 (г); их фурье-образы: сг
(k) = v (k) + 1. Функцию a (k) или v (k) называют статическим
формфактором жидкости. Функции сг(со, k) и сг (k) связаны друг с другом
интегральным соотношением
00 00 o(k)= J СГ (со, k)e-ia>/^lt=Q= J or (со, й)~. (86,7)
- 00 - со
Шредингеровский (не зависящий от времени) оператор плотности дается
суммой
п (г) = 2 6 (г-О, (86,8)
а
взятой по всем частицам среды; координаты частиц га играют роль
параметров (ср. (24,4)). Нам понадобятся ниже компоненты фурье-разложения
этого оператора по координатам
tik = n(r)e~ikrd3x = 2e-lkr*. (86,9)
а
Переход к зависящему от. времени (гейзенберговскому) оператору происходит
по общему правилу
n(t, г) = exp (iHtjfi) п (г) exp (-iHtjfi), (86,10)
где Н - гамильтониан системы. Этот оператор может быть представлен
выражениями (86,8-9) с заменой в них га на гa(t) - гейзенберговские
операторы координат частиц.
Согласно основным принципам статистики, усреднение <.. .> можно понимать
по-разному, в зависимости от того, через какие термодинамические
переменные должен быть выражен результат.
424 ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ [гл. IX
Так, если функция а определяется при заданных полной энергии и числе
частиц системы,' то усреднение производится по определенному (т-иу)
стационарному состоянию, т. е. взятием соответствующего диагонального
матричного элемента. Для однородной системы (жидкость) зависимость
матричных элементов оператора bn(t, г) от времени и координат дается
формулой
<m\8n(t, г)|/> = <m 16п(0) |/>ехр [i{(omlt-km;r)], (86,11)
вполне аналогичной (8,4) (в правой части стоит матричный элемент
шредингеровского оператора бя(г), взятого в точке г = 0). С учетом этой
формулы пишем
по (t, г) = 2 <т 18п | /> </1 бп (t2, г2) | ту =
i
= 2 \<т | бп (0) | /> |2 ехр [i (wmlt-kmJr)]. i
Фурье-образ этой функции
шт(со, k)= (2л;)4 2 l<m 1(0) J />12 б (со -сог/л) б (k-k,J. (86,12)
i
Суммирование в этих формулах производится по всем'состояниям системы с
заданным (Nт) числом частиц (поскольку оператор бп не меняет этого
числа).
Если же мы хотим выразить формфактор через температуру и химический
потенциал жидкости, то выражение (86,12) должно еще быть усреднено по
распределению Гиббса:
па (со, k) =
= (2л)4 X ехР \<т 18п (0) | />|2 б (о-о1т)'Ь (к-к,я)
1,т
(86,13)
(причем во всех членах суммы Nt = Nm). Выписав такую же формулу для о(-а,
-к) = а(-со, k), взаимно переобозначив в ней индексы суммирования / и т и
заменив в экспоненциальном множителе Е1==Ет + 1ш>[т = Ет + 1ш (последнее
равенство-следствие наличия б-функции), получим
0(-со, k) - a (со, k)e~K^r (86,14)
и затем, согласно (86,6),
с (со, = +е-^Т)а{(л, к). (86,15)
Отметим, что из (86,13) (или (86,12)) следует, что функция
о (со, k)^0 при всех значениях ее аргументов. Из соотношения
§ 86]
ДИНАМИЧЕСКИЙ ФОРМФАКТОР ЖИДКОСТИ
Предыдущая << 1 .. 155 156 157 158 159 160 < 161 > 162 163 164 165 166 167 .. 172 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed