Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
обратными.
§ 87. Правила сумм для формфактора
Динамический формфактор удовлетворяет определенным интегральным (по
частотам со) соотношениям - правилам сумм. Вывод одного из них основан на
правиле коммутации между
операторами Як(0 и nk(t). Коммутатор гейзенберговских операторов, взятых
в одинаковый момент времени, совпадает с коммутатором шредингеровских
операторов п^ и Як. Оператор пк определяется выражением (86,9) и
требуемый коммутатор дается формулой
ПкПк - "к "к =- (87,1)
где m - масса частицы жидкости1).
Исходим из выражения компоненты фурье-разложения функции a (t, г) только
по координатам
по (t, k) = J e~'k <bn (tlf rj bn {t2, r2)> d3 (*!-*,).
*) Вычисление этого коммутатора совпадает с вычислением, произведенным в
III § 149 в связи с выводом правила сумм (149,5); вместо числа электронов
Z теперь фигурирует полное число частиц жидкости N.
428 ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ [гл. IX
Имея в виду, что подынтегральное выражение зависит только от гх-г2,
заменяем интегрирование по da(xt-х2) интегрированием по d3x1d3xjV\
произведя его под знаком усреднения, получим
о (t, k) = ~<bnk (fx) бл-k (/2)>. (87,2)
Вычислим значение производной do(t,k)dt при t- 0. Поскольку a(t,k)
зависит только от разности t~tl -t2, то да (t, k) 1 / (За да \
dt 2 V dt1 dt2)
и после подстановки сюда (87,2)
2Ж <SM^) 6n_k(f2) - 6nk(^)6n_k(/2)>.
Каждый из двух членов этого выражения зависит только от абсолютной
величины вектора к; на этом основании заменим во втором члене к на -к.
Положив затем tx = t2 и учтя, что п-ъ=пъ, найдем, что разность в угловых
скобках совпадает с коммутатором (87,1). Таким образом, находим да (t, k)
dt
= - - k* t= о 2m
С другой стороны, представив o(t,k) в виде фурье-интеграла по частотам,
имеем
da(t,k) д Г da
dt
t =0 dt
Сравнив оба выражения производной, получим искомое соотношение
j = (87,3)
- СО
(G. Placzek, 1952). Подчеркнем, что оно справедливо при любых k. Для
перехода в этом соотношении к классическому пределу (fi-^0) надо записать
интеграл в его левой стороне в виде
J со [о (со, k) - a (- со, й)] о
и, согласно (86,14), подставить в него
i т
da
2л
а (со, k)-о (- со, k) " ~ а (со, k).
§ 87] ПРАВИЛО СУММ ДЛЯ ФОРМФАКТОРА 429
После этого множители % в обеих сторонах равенства сокращаются и остается
1.
О
Применим формулу (87,3) к бозе-жидкости при Г = 0 и рассмотрим область
малых значений k. При k-<-0 главный вклад в интеграл дает 8-функционный
пик в формфакторе а ((?>,k), возникающий в (86,13) от переходов с
рождением одного фонона (поскольку в основном состоянии жидкости фононы
отсутствуют, то переходов с уничтожением фонона при Т - О нет). Этот член
имеет вид Лб (со - uk), где fluk-энергия фонона (и-скорость звука).
Подставив же его в качестве а (со, k) в (87,3), найдем коэффициент А, из
результате
° ((r). к) - -~& (со - uk). (87,4)
Интегрирование этого выражения по формуле (86,7) дает статический
формфактор
<87'5>
(R. P. Feynman, 1954)г). Поскольку эта формула относится к области малых
значений то ее фурье-обращение дает асимптотическое выражение
корреляционной функции при больших г:
<87'6>
(для проверки этой формулы см. интеграл, приведенный в примечании на стр.
411). При Т- О формула (87,6) справедлива до сколь угодно больших
расстояний. При низких, но конечных температурах она верна вплоть до
расстояний г ~ Й-и/Г, на которых флуктуации перестают быть чисто
квантовыми. На еще больших расстояниях закон (87,6) сменяется
экспоненциаль-
*) Формула (87,5), записанная в виде a (k) = %2k2l2me (k) (е (k)-энергия
квазичастицы), строго - справедлива лишь при k->-0. При увеличении к все
большую роль играют вклады в ст (k) от переходов с рождением нескольких
квазичастиц. Если все же пренебречь этим вкладом, можно считать, что эта
формула дает связь между формфактором и энергией квазичастиц в бозе-
жидкости. При этом максимуму, который а имеет при k~l/a (а-межатомные
расстояния в жидкости), отвечает "ротонный" минимум на кривой е(/г)"
430
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
[ГЛ. IX
ным убыванием (если отвлечься от вклада ван-дер-ваальсовых сил-см. §
83)*).
Еще одно правило сумм можно получить из установленной в § 86 связи
формфактора с некоторой обобщенной восприимчивостью а (<",&). Эта связь
дается формулой (86,20), которая при Т = 0 сводится (для ю > 0) к
по (со, k) =2k Im а (со, k). (87,7)
Согласно формулам Крамерса - Кронига (см. V (123,15)),
Re а (со, fe)= -Р С 1т"-(й--'-W.
v ' л J со -ш
- 00
Положив здесь со = 0 и учтя, что величина а(0, k) вещественна2), пишем
СО
a(0,k) = ^r§Uma(co,k)^. (87,8)
о
В пределе k-+0 имеет место соотношение
a(0,k->0) = (*[) =n(g) . (87,9)
V ф/т=о \ дР /г = о
Оно следует из того, что в статическом медленно меняющемся в пространстве
слабом поле U имеет место условие равновесия p, + t/=const, так что
включение внешнего поля эквивалентно изменению химического потенциала на
-U. В пределе k-*-0 имеем поэтому из (86,18)
Ьп = - & - U Ja(0, rx--r2)d3(Xi-хг)= - t/a(0, k = 0),
