Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
ряд по шаровым функциям Ylm\b, ф) (с полярной осью
вдоль Н). Каждый член разложения представляет определенный тип колебаний
со своей частотой &1т.
Первой из них, со00, отвечают колебания с щ = const; при этом p = j*(i +
G) и уравнение (5,7) сводится к
*'"оо
колебания поперечны к полю (ц_|_Н). Расписав уравнение в компонентах (в
плоскости, перпендикулярной Н) и составив определитель этой системы,
найдем частоту
со00 = 2 рН/%. (5,8)
Напомним, что Р-магнитный момент частицы (истинной) жидкости. Таким
образом, частота (c)00 оказывается вовсе не зависящей от специфических
свойств жидкости. Значения же всех остальных частот а1т зависят от
конкретного вида функции G (й).
§ 6. Вырожденный почти идеальный ферми-газ с отталкиванием между
частицами
Вопрос о термодинамических свойствах "почти идеального" вырожденного газа
не имеет непосредственного физического смысла, так как реально
сущестбующие в природе газы при
ВЫРОЖДЕННЫЙ ПОЧТИ ИДЕАЛЬНЫЙ ФЕРМИ-ГАЗ
35
температуре вблизи абсолютного нуля конденсируются. Тем не менее, ввиду
существенного методического интереса этого вопроса, имеет смысл
рассмотреть его для воображаемой модели газа, частицы которого
взаимодействуют таким образом, что конденсация газа исключена.
Условие слабой неидеальности газа заключается в малости радиуса действия
молекулярных сил г0 по сравнению со средним расстоянием между частицами
l~(V/N)1/3. Вместе с условием г0<^1 будет справедливо также и неравенство
pr0/h<^ 1 (6,1)
для импульсов р частиц. Действительно, для вырожденного ферми-газа
предельный импульс pF оценивается по формуле (1,1), согласно которой
pF/h~(N/V)1
Мы будем рассматривать здесь лишь парное взаимодействие между частицами,
причем для простоты будем считать это взаимодействие U (г) не зависящим
от спинов частиц. Наша цель состоит в вычислении первых членов разложения
термодинамических величин по степеням отношения rjl путем применения
квантовомеханической теории возмущений. Затруднение заключается в том,
что, ввиду быстрого возрастания энергии взаимодействия на малых
расстояниях между частицами, теория возмущений (так называемое борновское
приближение) к столкновениям частиц в действительности неприменима. Это
затруднение можно, однако, обойти следующим образом.
В предельном случае "медленных" (какими они являются при условии (6,1))
столкновений, амплитуда взаимного рассеяния частиц с массой т стремится к
постоянному пределу-а, который в борновском приближении дается выражением
(см. III (126,13))
-а = --^fcUo, = ^U(r)d3x, (6,2)
причем этот предел отвечает s-состоянию пары частиц (со спином 1/2);
постоянную величину а называют длиной рассеяния1). Поскольку эта величина
полностью определяет свойства столкновений, то она же должна определять и
термодинамические свойства газа.
Отсюда вытекает возможность применения следующего приема (его называют
перенормировкой). Формально заменяем
1) Выражение (6,2) не учитывает квантовомеханической тождественности
частиц. В предельном случае медленных столкновений тождественных частиц
со спинами 1/2 рассеяние происходит только при антипараллельных спинах,
причем дифференциальное сечение рассеяния в телесный угол do (в системе
центра инерции) есть da--4а2 do; полное сечение получается
интегрированием da по полусфере: ст = 8яа2 (см. Ill § 137).
36
НОРМАЛЬНАЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ
[ГЛ. I
истинную энергию U (г) другой функцией, с тем же самым значением а, но
допускающей применение-теории возмущений. До тех пор (т. е. до такого
приближения) пока окончательный результат вычислений содержит U только в
виде амплитуды рассеяния, этот результат будет совпадать с тем, к
которому привело бы истинное взаимодействие.
Радиус действия истинного взаимодействия, вообще говоря, совпадает по
порядку величины с длиной рассеяния а. Для фиктивного же поля U (г),
введенного в качестве вспомогательного понятия, условие применимости
борновского приближения означает, что й<^г0. Истинным малым параметром
разложения теории является, конечно, величина арР!%.
Ниже нам понадобится связь между U0 и а не только в первом (формула
(6,2)), но и во втором борновском приближении. Для ее нахождения
вспомним, что если вероятность некоторого перехода системы под влиянием
постоянного возмущения V определяется в первом приближении матричным
элементом V0(I, то во втором приближении V00 заменяется на
Koo+V' ^оЛо
" р _____р >
п ta tn
где суммирование производится по состояниям (пфО) невозмущенной системы
(см. III § 43). В данном случае речь идет
о системе двух сталкивающихся частиц, а возмущением является их
взаимодействие U (г). Матричные элементы возмущения для переходов с
изменением импульсов частиц plt р2 -^ р', р'г (причем рх + р2 = Pi Ч- Рг)
равны
<Pi"i. Paa*|?/|Pi"i, (г)е-*г/кс13х, (6,3)
где Р = Р2-тР2 = -(Pi-Pi); ввиду независимости взаимодействия от спинов
проекции спинов частиц (указываемые индексами ац ос2) при столкновении не
меняются. Роль V00 играет матричный элемент при нулевых импульсах: UjV.
