Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
однако, не означает, что матричные элементы вообще не зависят от
координат. Дело в том, что отличие ^""(г) от значения ^^(О) в некоторой
заданной точке г = 0 связано с двумя причинами: со смещением на
расстояние г относительно самой системы и с перемещением точки наблюдения
в другое место пространства, что также меняет фазы волновых функций.
Чтобы исключить последнее изменение, сместим систему на вектор -г, т. е.
применим к ее волновым функциям оператор параллельного переноса
f (- г) = е-"*
(Р-оператор полного импульса системы; см. III (15,13)). В результате этих
операций точка наблюдения вернется в исходное место пространства, но
останется смещенной относительно системы на вектор г. Инвариантность
матричных элементов по отношению к такому преобразованию выразится
равенством
<П I (0) I ту = <л I e'rPipa (г) е~1гр | ту. (8,3)
Если в состояниях п и jn система обладает определенными импульсами Р" и
Рт, то
- <П | Фа (0) I ту = etk(tm)T <п I (г) | ту,
откуда
<п|Фа(/, г)\ту = е1 ("п/я<-ки/вг) <л |-фа(0) [ту, ^ </!)?+(/, r)\my = <т\
Ya (t, г) | пу*,
где k"m = P"-Ри.
С помощью этих формул можно получить важное разложение для функции Грина
в импульсном пространстве, проясняющее ее физический смысл.
Ввиду "разрывного" определения функции G(t, г), при вычислении G(co, р)
надо разбить интеграл по dt в (7,22) на два интеграла: от -оо до 0 и от 0
до оо. Во втором из них (т. е. при t = t1 - /2 > 0) имеем, раскрывая
определение (7,10) по
§ '8] ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР И ФУНКЦИЯ ГРИНА 51
правилу умножения матриц:
G (t, г) = ± Gem = -4 ? <° IV* (xi) I т> <т I У* (*¦)I °>
т
(суммирование по всем квантовым состояниям системы). Подставив сюда (8,4)
и заметив, что в основном состоянии Р0 = 0, находим
G(t, r) = -4?|<0|MO)|m>K("om' + V>, (8,5)
т
где w0m = ?0(AO - ?m(N + l) + ^-
Интегрирование по пространству в (7,22) (с G(t, г) из (8,5)) дает в
каждом члене суммы б-функцию б (р-Рт). При интегрировании же по dt (t >
0) для обеспечения сходимости надо добавить к со бесконечно малую
положительную мнимую часть, т. е. заменить со -со + *0х) • Тогда получим
СО
г) №-"Wxdt = "? | <01 (0) I ту [2 •
о т
Аналогичным образом вычисляется интеграл по dt от -оо до 0. При t < 0
вместо (8,5) имеем
G(t, г) = -^?|<т|Ы0)|0>|^("^-р"г), (8,6)
т
где (x>m0 = Em(N-l)-E0(N) + \i. Вычислив теперь интеграл от -оо до 0 и
сложив оба интеграла, получим
П1,л -ч (2я)3 у ( Ат6(р-Рш) ,
PJ- 2 ^,^ш + |4+?о(Л0_?#1(^+1) + ,о-^
ВтЬ (р + Рст)______\
+ <о + |* + Яя (N-l)-E0 (N) - Ю />
где обозначено
Ли = |<0|Ы0)|т>12, Bm = | <т |^а(0) |0> |2. (8,8)
Это и есть искомое разложение2).
Введем обозначения
W = Em(N + l)-EQ(N), etf = E0(N)-Em(N-l) (8,9)
!) Эта процедура аналогична способу вычисления функций Грина в квантовой
электродинамике (ср. IV § 76).
2) Аналогичное разложение в квантовой теории поля называют формулой
Челлена-Лемана (ср. IV §§ ЮГ, 108).
52 ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Г = 0' [гл. II
для энергий возбуждения, определенных по разностям между возбужденным
уровнем системы с определенным числом частиц и основным уровнем системы,
содержащей на одну частицу больше или меньше. Индексы ( + ) и (-)
указывают, что эти энергии
вт}>И, е*г> < (*. (8,10)
Действительно, заметив, что ?"(# + 1) - Е0 (N)<vdE0/dN = ц- химический
потенциал при Т = 0, пишем, например,
е?> = Em (N +1 )-Е0 (N + 1) + Е0 (N + 1)-Е0
ъ[Ет(Ы+1)-Е0(К + 1)] + р.
Но разность в квадратных скобках (где обе энергии относятся к системам с
одинаковым числом частиц) положительна по определению основного
состояния, откуда и следует, что > (х. К смыслу определения (8,9) мы еще
вернемся ниже.
Сдвиг полюсов членов суммы (как функций со), выражаемый слагаемыми ± i0 в
их знаменателях, эквивалентен появлению
S-функционных мнимых частей согласно правилу х)
-Jir=piT;n6(x). (8,11)
Применив его к (8,7), найдем вещественную часть гриновской
функции
Re G (со, р) = 4л3 V Р Г гтЧ (8>12)
L шН-Ц - Е< + > 1 CO-f-Ц -8^> J V ' '
и ее мнимую часть (здесь надо учесть, что все разности - (х >0,
а все разности -jj, < 0):
lmG((c), р) =
( - 4я*2^"в(Р-^Р*)в("9 + |* - ?<+>) при ю > 0,
I т
= < (8,13)
I 4я"2Явв(р + Ря)б(<в+ц -efc-") при со<0.
^ m
Отсюда видно, что всегда
signImG(co, р) = -sign(r). (8,14)
Ср. III (43,10). Знак Р означает, что при интегрировании выражений вида
f(x)/(x±iQ) интеграл должен пониматься в смысле главного значения
я/( 0).
Второй член возникает от обхода полюса х = - Ю (или х = Ю) по
полуокружности сверху (или снизу).
5НЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР И ФУНКЦИЯ ГРИНА
53
Отметим также асимптотическое поведение функции G(co, р) при со-*-оо. Из
(8,7) имеем
0(со, р)"^?[Лв6(р-Рв) + Яв6(р + Рв)].
т
Коэффициент при 1/со равен, как легко убедиться, компоненте Фурье по гг-
г2 от
уГМЛ г2) + ВД г2)ВД г1)}=б(г1 -га),
т. е. единице. Таким образом,
G(cо, р)->-1/(0 при | со|-*-оо. (8,15)
Главное свойство функции Грина в импульсном представлении состоит в том,
что ее полюсы могут лежать только в точках со - ът - ja., где ет-
