Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
одинаково для жидкости и для газа, а при вычислении этого интеграла
существенна лишь область импульсов вблизи рР, в которой функции
распределения квазичастиц в жидкости и частиц в газе даются одним и тем
же выражением (1,8)2).
Перед тем, как продолжить развитие теории, сделаем следующее замечание.
Хотя излагаемый способ введения понятия квазичастиц в ферми-жидкости в
полной аналогии с частицами газа наиболее удобен для систематического
построения теории, связаннная с ним физическая картина имеет тот
недостаток, что в ней фигурирует ненаблюдаемая заполненная ферми-сфера
квазичастиц. Этот недостаток можно было бы устранить формулировкой, в
которой элементарные возбуждения появляются только при Т Ф 0. В такой
картине роль элементарных возбуждений играют квазичастицы вне ферми-сферы
и "дырки" внутри нее; первым надо приписать (в приближении, отвечающем
формуле (1,12)) энергию & - vF(p-pF), а вторым e = Vp(pp-р).
Статистическое распределение тех и других дается формулой распределения
Ферми с равным нулю химическим потенциалом (в соответствии с тем, что
число элементарных возбуждений при этом не постоянно, а само определяется
температурой3))
г) Доказательство соотношения (1,1) требует применения более сложных
математических методов и будет дано ниже, в § 20.
2) Для жидкого Не3 (при нулевом давлении): pF/fi = 0,8- 10s см -1; m*
= = 3,1m (He3); pF определяется по плотности жидкости; m* - по
теплоемкости.
3) Напомним (ср. V § 63), что в таких условиях число квазичастиц NKB
определяется условием термодинамического равновесия - минимальностью
свободной энергии F как функции NKe при заданных температуре и объеме:
(дР/дМкъ)т у = 0; но эта производная и есть "химический потенциал квази-
частиц" (не смешивать его с химическим потенциалом ц жидкости,
определенным производной от F по числу истинных частиц N).
(1,15)
n = \e&iT -f 1]~1.
(1,16)
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КВАЗИЧАСТИЦ
19
Элементарные возбуждения в этой картине появляются или исчезают лишь
парами, так что полные числа возбуждений с импульсами р> рр и р < всегда
одинаковы.
Отметим также, что при таком определении элементарных возбуждений их
энергия непременно положительна: это есть превышение энергии
возбужденного уровня над энергией нормального уровня системы. Энергия же
квазичастиц, определенная согласно (1,3), может быть как положительной,
так и отрицательной.
Более того, для жидкости при нулевых температуре и давлении величина
ef=[i заведомо отрицательна, а потому отрицательны и близкие к ег
значения е. Это ясно из того, что при Т = 0 и Р = 0 величина -[г
совпадает с положительной величиной-предельным значением отнесенной к
одной частице теплотой испарения жидкости.
§ 2. Взаимодействие квазичастиц
Являясь функционалом от функции распределения квазичастиц, их энергия
меняется при изменении этой функции. Изменение энергии при малом
отклонении 8п функции распределения от "ступеньки" (1,10) должно иметь
вид
6евР (р) = J fav, ре (Р, р') бn6v (р') dr' (2,1)
или, в более символическом виде,
6e(p) = Sp'$ /(р, р')б/г(р') йт',
где Sp' означает взятие следа по паре спиновых индексов, отвечающих
импульсу р'. Функцию / можно назвать функцией взаимодействия квазичастиц
(в ферми-газе / = 0). По своему определению эта функция представляет
собой вторую вариационную производную от полной энергии жидкости Е и
поэтому симметрична по переменным р, р' и соответствующим им парам
спиновых индексов:
faV. ре (Р, р') = /v<*. ер (Р', р). (2,2)
С учетом изменения (2,1) энергия квазичастиц вблизи поверхности ферми-
сферы дается суммой
е(р) - sP = vF(p-pf)+Sp' J f(p, р') 6h (pr) dr'. (2,3)
В частности, для термодинамически равновесных распределений
20
НОРМАЛЬНАЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ
[ГЛ. I
второй член в формуле (2,3) определяет зависимость энергии квазичастицы
от температуры. Отклонение 6tif заметно отлично от нуля только в узком
слое значений р' вблизи поверхности ферми-сферы, и в таком же слое
находятся импульсы р реальных квазичастиц. Поэтому функцию /(р, р') в
формулах (2,1), (2,3) фактически можно заменить ее значением на самой
этой поверхности, т. е. положить p = p'=pF, так что f будет зависеть
только от направлений векторов р и р'.
Спиновая зависимость функции / связана как с релятивистскими эффектами
(спин-спиновое и спин-орбитальное взаимодействия), так и с обменным
взаимодействием. Последнее наиболее существенно. С его учетом функция
взаимодействия квазичастиц имеет (на ферми-поверхности) вид
-^/(Р, P') = F (Ф) -foo'G (Ф), (2,4)
где о, а'-матрицы Паули, действующие на соответствующие (т. е. отвечающие
переменным р и р') спиновые индексы, a F и G-две функции угла Ф между р и
р'1). Вид этого выражения связан с характерным свойством обменного
взаимодействия: оно не зависит от ориентации полного момента системы в
пространстве; поэтому операторы двух спинов могут входить в него лишь в
виде скалярного произведения. Определенные, согласно
(2,4), функции F и G безразмерны. Введенный для этой цели в левой стороне
