Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
сумме энергий е квазичастиц. Другими словами, Е представляет собой
функционал от функции распределения,
не сводящийся к интегралу ^ пг dx (как это имеет место для идеального
газа, где квазичастицы совпадают с истинными частицами и не
взаимодействуют друг с другом). Поскольку первичным понятием является
именно Е, то возникает вопрос
об определении энергии квазичастиц с учетом их взаимодействия.
Для этого рассмотрим изменение Е при бесконечно малом изменении функции
распределения. Оно должно, очевидно, определяться интегралом от
выражения, линейного по вариации 6п, т. е. имеет вид
Величина е есть вариационная производная от энергии Е по .функции
распределения. Она соответствует изменению энергии системы при добавлении
одной квазичастицы с импульсом р, и именно эта величина играет роль
гамильтоновой функции квазичастицы в поле других частиц. Она тоже
является функционалом функции распределения, т. е. вид функции е(р)
зависит от распределения всех частиц в жидкости.
Отметим в этой связи, что элементарное возбуждение в рассматриваемом типе
спектра можно в известном смысле трактовать как атом в самосогласованном
поле других атомов. Эту
6Е V
14
НОРМАЛЬНАЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ
[гл. I
самосогласованность нельзя, однако, понимать в обычном в квантовой
механике смысле. Она имеет-здесь более глубокий характер; в гамильтониане
атома учитывается влияние окружающих частиц не только на потенциальную
энергию, но меняется также и зависимость оператора кинетической энергии
от оператора импульса.
До сих пор мы отвлекались от наличия у квазичастиц спина. Так как спин
является квантовомеханической величиной, то он не может рассматриваться
классически, ввиду чего мы должны считать функцию распределения
статистической матрицей в отношении спина. Энергия же элементарного
возбуждения е в общем случае является не только функцией от импульса, но
и оператором по отношению к спиновым переменным, который можно выразить
через оператор спина квазичастицы s. В однородной и изотропной жидкости
(не находящейся в магнитном поле и не ферромагнитной) оператор s может
входить в скалярную функцию е тоже лишь в виде скаляров s2 или (sp)2;
первая степень произведения sp недопустима, поскольку в виду аксиальности
вектора спина она является псевдоскаляром. Квадрат s2 = s(s-|-l), а для
спина s = 1 /2 сводится к не зависящей от s постоянной также и скаляр
(sp)2 = p2/4. Таким образом, в этом случае энергия квазичастицы вовсе не
зависит от оператора спина, т. е. все уровни энергии квазичастиц
двукратно вырождены.
По существу утверждение о наличии спина у квазичастицы и выражает факт
существования' этого вырождения. В этом смысле можно утверждать, что спин
квазичастиц в данном типе спектра всегда равен 1/2, вне зависимости от
величины спина истинных частиц жидкости. Действительно, для любого
отличного от 1/2 спина s члены вида (sp)2 привели бы к расщепле-нню (2s +
1)-кратно вырожденных уровней на (2s + l)/2 уровней с двукратным
вырождением. Другими словами, появляются (2s + l)/2 различных ветвей
функции е(р), каждая из которых соответствует "квазичастицам со спином
1/2".
.Как уже было отмечено, с учетом спина квазичастиц функция распределения
становится матрицей или оператором п (р) по отношению к спиновым
переменным. В явном виде этот оператор записывается как эрмитова
статистическая матрица яар(р), где а, (3-спиновые матричные индексы,
пробегающие два значения ±1/2. Диагональные матричные элементы определяют
числа квазичастиц в определенных спиновых состояниях. Поэтому условие
нормировки функции распределения квазичастиц надо писать теперь в виде
dx = -r- (2nt)a-
(1,2)
§ 1] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ В ФЕРМИ-ЖИДКОСГИ
15
(символ Sp означает взятие следа матрицы по спиновым
индексам)*).
Оператором-матрицей по спиновым переменным - является в общем случае
также и энергия квазичастицы е. Ее определен ние надо записывать так:
^ = Sp = j eap6rtpa dx. (1,3)
Если спиновая зависимость функции распределения и энергии отсутствует, т.
е. па$ и еар сводятся к единичной матрице
^a(j==^<x(S> 6а(3=ббар, (1)4)
то взятие следа в (1,2-3) сводится просто к умножению на 2: 2^ndx = -^-,
^- = 2^e8ndx. (1,5)
Легко видеть, что в статистическом равновесии функция распределения
квазичастиц имеет вид распределения Ферми, причем роль энергии играет
определенная согласно (1,3) величина е. Действительно, в силу совпадения
классификационных свойств уровней энергии жидкости и идеального ферми-
газа энтропия S жидкости определяется таким же комбинаторным выражением
= - Sp J {я In п - (1-п) In (1 - n)}dx, (1,6)
как и в случае газа (см. V § 55). Варьируя это выражение при
дополнительных условиях постоянства полного числа частиц и полной энергии
- Sp J 8ndx = 0, ^ = Sp ^ eftndx - O,
мы получим искомое распределение
? = [e(e-n)/r_i_ i]-if (1)7)
где (х - химический потенциал жидкости.
При не зависящей от спина энергии квазичастиц формула
(1,7) означает такую же связь между величинами я и е:
