Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
нулевого звука, отличающихся друг от друга угловой зависимостью их
амплитуды v (0, ср) и распространяющихся с различными скоростями. При
этом наряду с аксиально-симметричными решениями v(0) могут существовать и
асимметричные решения, в которых v содержит азимутальные множители
e±tm<ti где т-целые числа (см. задачу). Отметим, что для всех таких
решений интеграл ^ vdo - 0, т. е. объем, заключенный внутри ферми-
поверхности, остается неизменным; это значит, что колебания происходят
без изменения плотности жидкости.
х) Колебания, соответствующие нулевому звуку в слабо неидеальном ферми-
газе, были впервые рассмотрены Ю. Л. Климонтовичем и В. П. Силиным
(1952).
32 НОРМАЛЬНАЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ [гл. I
Возможность распространения волн в ферми-жидкости при абсолютном нуле
означает, что ее энергетический спектр может содержать ветвь, отвечающую
элементарным возбуждениям с импульсом р = &к и энергией E = fm = иар -
"кванты нулевого звука". Тот факт, что нулевой звук (с любым заданным к)
может иметь произвольную (малую) интенсивность, в терминах элементарных
возбуждений означает, что последние могут заполнять свои квантовые
состояния в любом числе; другими словами, они подчиняются статистике Бозе
и образуют, как говорят, бозевскую ветвь спектра ферми-жидкости.
Подчеркнем, однако, что в рамках теории Ландау было бы неправильным
вводить соответствующие этой ветви поправки в термодинамические величины
ферми-жидкости, поскольку они содержат более высокие степени температуры
(Т3 в теплоемкости), чем уже первые поправки к изложенной приближенной
теории.
Вопрос о поглощении нулевого звука требует рассмотрения столкновений
квазичастиц и не относится к содержанию этого тома.
Задача
Найти скорость распространения асимметричных волн нулевого звука при
f'=f'0+f'iCOS^.
Решение. При
' F = F0 + fi (cos 0 cos 0' + sin 0 sin 0' cos (<p-<p'))
могут существовать решения с Действительно, положив v = / (0) eir<>,
подставив в (4,12) и произведя интегрирование по dq>', получим
л
(s-cos 0) f = -j? cos 0 sin 0 J sin2 0'/ (0') dQ
0
Отсюда
. sin 0 cos 0 tm
v = const--------
s-cos 0
Подставив это выражение обратно в уравнение, получим соотношение
fsin30cos0d0= 4
J s-cos 0 Fi
о
определяющее зависимость скорости распространения от Fi. Интеграл в левой
стороне равенства является монотонно убывающей функцией s. Поэтому его
наибольшее значение достигается при s=l. Вычислив интеграл при s = l,
найдем, что распространение асимметричной волны рассмотренного вида
возможно при Fi > 61).
х) Для жидкого Не3 можно вычислить F0 и по известным значениям т* и и2 с
помощью формул (2,12) и (2,17): /о = 10,8, fl = 6,3 (при нулевом
давлении).
§ 5] СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ В ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ 33
§ 5. Спиновые волны в ферми-жидкости
Наряду с рассмотренными в предыдущем параграфе решениями v(n), не
зависящими от спина, уравнение (4,10) имеет также и решения вида
v = <jn(n), (5,1)
в которых изменение функции распределения квазичастиц зависит от проекции
их спина. Такие волны можно назвать спиновыми.
Подставив (5,1) в (4,10), снова взяв функцию f в виде (2,4) и заметив,
что Sp' а' (аа')^=2а, получим (после сокращения на о)
(s-cos0)n(0, cp) = cos0 Jg(&)(i(0', (5,2)
Таким образом, для каждой из компонент вектора ц получается уравнение,
отличающееся от (4,12) лишь заменой F на G. Поэтому все дальнейшие
вычисления, произведенные в § 4, могут быть применены и к спиновым
волнам1).
Спиновые волны другого типа могут распространяться в фер-ми-жидкости в
присутствии магнитного поля (В. 77. Силин, 1958). Мы ограничимся здесь
рассмотрением колебаний с к = 0, в которых бп не зависит от координат.
При наличии магнитного поля Н уже "невозмущенные" колебаниями энергия
квазичастиц и функция их распределения зависят от спина. Эти зависимости
связаны друг с другом и выражаются формулами (см. § 3)
е0 = е0(р)-МН, Pi = P/(l + G), , (5,3)
По = П0 (р)-'5jf'P10H =no (Р) + б (е-ef) Pi(jH, (5,4)
где е0 (р)-энергия в отсутствие поля; индекс 0 снова напоминает о том,
что эти выражения относятся к равновесной жидкости.
Снова ищем малую переменную часть функции распределения в волне в виде
бп = б (е-&Р) ащ (п) е~ш.
Соответствующее изменение энергии квазичастицы:
б^ = о Jn(n')G(ft)^.e-^.
*) В жидком Не3 величина G0 = G (¦в1) < 0 (см. примечание на стр 25).
Поэтому распространение таких волн в этой жидкости невозможно.
34 НОРМАЛЬНАЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ [гл. I
В кинетическом уравнении должен быть учтен теперь член
(4,4) с коммутатором {е, "}; для не зависящих от координат распределений
оно принимает вид
+ = 0. (5,5)
С точностью до линейных по бп членов имеем
{е, п} = - {<хН, бя} +pj6 (е - ер) {бе, <хН}.
Стоящие здесь коммутаторы определяются формулой
{ста, стЬ} = 2/ст [ab],
где а, b - произвольные векторы (см. III (55,10)); в результате
кинетическое уравнение приводится к виду
шц (п) = [Нр (п)], (5,6)
где обозначено
р(п)=щ(п) + ^(n'JG^)-^-. (5,7)
В общем случае решение уравнения (5,6) может быть разложено в
