Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
деформации граничной ферми-поверхности (сферы в невозмущенном
распределении), остающейся при этом резкой границей между заполненными и
незаполненными состояниями квазичастиц. Функция же v (п) представляет
собой величину смещения (в единицах энергии) этой поверхности в заданном
направлении п.
Поскольку v(n') не зависит от спиновых переменных, то операция Sp' в
(4,10) применяется только к функции /. Написав последнюю в виде (2,4),
будем иметь Sp' / = (2л2 %3/ррт*) F (ft). Таким образом, оператор о
выпадает вовсе из уравнения, принимающего теперь вид
(to-kv)v(n) = kvj'F(ft)v(n')^. (4,11)
Выберем направление к в качестве поля.рной оси, и пусть углы 0, ф
определяют направление п. Введя также скорость' распространения волны ы0
= о)/& и обозначение s = u0/vF, напишем окончательно полученное уравнение
в виде
(s-cos0)v(0, <p) = 'cos0 jV(ft)v(0', ф')-^г- (4,12)
Это интегральное уравнение определяет, в принципе, скорость
распространения волн и функцию v(n') в них. Сразу же отметим, что для
незатухающих колебаний (которые здесь нас только и интересуют) величина s
должна превышать 1, т. е. должно быть
u0>vp. (4,13)
30
НОРМАЛЬНАЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ
[гл. I
Происхождение этого неравенства можно понять, переписав (4,12) в виде
;<е, T)=cosejF(*)i21§g,
где вместо v введена другая неизвестная функция v = (s-cos0)v. При s =
(д/kVf < 1 подынтегральное выражение имеет полюс в точке cos0' = s, и для
придания интегралу смысла этот полюс должен быть обойден по определенному
правилу в плоскости комплексного переменного cos0'. Этот обход вносит в
интеграл мнимую часть, в результате чего приобретает мнимую часть также и
частота ю (при заданном вещественном k), что и означает затухание волны.
Физический смысл равенства cos0 = Ho/yf (отвечающего полюсу) состоит в
том, что это есть условие черен-ковского излучения волн нулевого звука
квазичастицами *).
Рассмотрим в качестве примера случай, когда функция /•'(й) сводится к
постоянной (обозначим ее F0). Интеграл в правой стороне уравнения (4,12)
не зависит при этом от углов 0, ф. Поэтому искомая функция v имеет вид
v = const's-^e- <4'14)
Ферми-поверхность приобретает, таким образом, форму поверхности вращения,
вытянутой вперед по направлению распространения волны и сплюснутой в
обратном направлении. Эта анизотропия является проявлением
неравновесности состояния жидкости в каждом элементе ее объема: в
равновесии все свойства жидкости должны быть изотропными и тем самым
ферми-поверхность-сферической. Укажем для сравнения, что обычной звуковой
волне соответствует сферическая ферми-поверхность колеблющегося радиуса'
(граничный импульс рР колеблется вместе с плотностью жидкости), смещенная
как целая на величину, связанную со скоростью движения жидкости в волне;
соответствующая функция v имеет вид v = 6pF-f-const-cos0.
Для определения скорости распространения волны нулевого звука м"
подставляем (4,14) в (4,12) и находим
я
Р С cos 0 2я sin 0 dQ __ .
0 J s-cos 0 4я
о
Произведя интегрирование, получим уравнение, определяющее
х) Такой механизм затухания называют затуханием Ландау; оно будет
подробно изучено в томе X в связи с колебаниями плазмы. Правило обхода
полюса в интеграле устанавливается заменой со на co + iO (т. е. s->. s-U
iO), смысл которой состоит в том, что ею обеспечивается конечность
возмущения во все предыдущие моменты времени (в том числе при t->-со).
НУЛЕВОЙ ЗВУК
31
в неявном виде скорость и0 по заданной величине F0:
Функция в левой стороне уравнения убывает от оо до 0 при изменении s от 1
до оо, оставаясь всегда положительной. Отсюда следует, что
рассматриваемые волны могут существовать только при F0 > 0. Подчеркнем,
что возможность распространения нулевого звука зависит, таким образом, от
свойств взаимодействия квазичастиц в ферми-жидкости.
При F0-"-0 найдем из (4,15), что s стремится к 1 по закону
s-1"2е"2//Ч (4,16)
Этот случай имеет более общее значение, чем формула (4,15)
(предполагающая F = const = F0): он соответствует нулевому звуку в почти
идеальном ферми-газе при произвольном виде функции F (Ь). Действительно,
почти идеальному газу соответствует малая по абсолютной величине функция
F (Ь). Из уравнения (4,12) видно, что при этом s будет близким к 1, а
функция v - заметно отличной от нуля лишь при малых углах 0. На этом
основании, рассматривая лишь область малых углов, можно заменить в
интеграле в правой стороне (4,12) функцию F(b) ее значением при ft = 0
(при 0 = 0 и 0' = О также и ft = 0). В результате мы снова вернемся к
формулам (4,14) и (4,16) с заменой константы F0 на F(О)1). Отметим, что в
слабо неидеальном газе скорость нулевого звука превышает скорость
обычного звука в УЗ раз. Действительно, для первой имеем u0xvF, а для
второй находим из формулы (2,17) (пренебрегая в ней F и положив т*хт), и2
х pF/3m*2 = vF/3.
В общем случае произвольной зависимости F (ft) решение уравнения (4,12)
неоднозначно. Оно, в принципе, допускает существование различных типов
